Si , Encontrar

Question

Mi profesor de matemáticas hizo esta pregunta a mi clase de cálculo. Si encuentra $f(x)=\frac{1}{1-x-x^2}$, $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$.

Al principio comencé tomando que los primeros pocos derivados, pero pronto ir de las manos con las reglas de cociente repetidas. Estoy seguro de que podría seguir para $10$ derivados, pero creo que debe haber una solución más fácil.

Answer 1

Utilice el hecho de que $$f(x)=\frac{1}{1-x-x^2}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} F_{n+1} x^n.$$ Where $F_n$ is the $n$ número Fibonacci. Para demostrar esta propiedad, recordar la definición recursiva de la secuencia de Fibonacci.

Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar la $11th$ plazo en la serie, que es de la forma $F_{11} x^{10}$. El primer $9$ términos desaparecen después de $10$ repite derivados y la infinitud de los términos después de que el $10th$ desaparecen cuando se sustituye $x=0$.

Curiosamente, a partir de esta relación, se puede extraer una explícita formulafor la $nth$ número Fibonacci. Usted sólo tendrá que utilizar fracciones parciales en el lado izquierdo y la fórmula para un geométrica de la suma.

EDITAR: Gracias a Brevan Ellefsen, yo recomendaría buscar la generación de funciones, que describen las secuencias de tratarlos como los coeficientes de una serie infinita.

Answer 2

Si usted no sabe la teoría de funciones de generación, el truco es conseguir que la expansión de Taylor con parciales de fracciones. Escribir $$ \frac{1}{1-x-x^2}=\frac{a}{1-\alpha x}+\frac{b}{1-\beta x} $$ que le da a las relaciones $$ \begin{cases} a+b=1\\[4px] a\beta+b\alpha=0\\[4px] \alpha+\beta=1\\[4px] \alpha\beta=-1 \end{casos} $$ Ahora usted puede utilizar $$ \frac{a}{1-\alpha x}=\sum_{n\ge0}\alpha^nx^n $$ así $$ \frac{f^{(10)}(0)}{10!}=un\alpha^{10}+b\beta^{10} $$

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Una vez que calcular $a$, $b$, $\alpha$ y $\beta$, te darás cuenta de que $$ un\alpha^n+b\beta^n=\frac{\varphi^n-\bar{\varphi}^n}{\sqrt{5}} $$ donde $$ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad \bar{\varphi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$ que es el de Bézout fórmula de los números de Fibonacci.

Answer 3

Sugerencia:

$$\frac1{1-u}=1+u+u^2+\dots+u^{10}+o(u^{10})$ $ $u=xx+x^2$ De conjunto y encontrar el coeficiente de $x^{10}$.

Otro Consejo:

Realizar la división de $1$ $1-x-x^2$ a lo largo de los crecientes poderes de $x$.

Encontrará el número de Fibonacci $F_{11}$.

Answer 4

Si tenemos en cuenta $$ g(z) = \frac{z}{1-z-z^2} = \sum_{n\geq 0} a_n z^n $ $ tenemos una función analítica en una vecindad de cero cuyos coeficientes cumplan $a_0=0, a1=1$ y $a{n+2}-a{n+1}-a{n}=0$ para cualquier $n\geq 0$ (basta para calcular el coeficiente de $z^{n+2}$ $z=(1-z-z^2)\sum_{n\geq 0}a_n z^n$). Sigue que $a_n = F_n$, el $n$-ésimo número de Fibonacci, así:

$$ f(z) = \frac{g(z)}{z} = \frac{1}{1-z-z^2} = \sum{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot z^n = \sum{n\geq 0} F{n+1}\cdot z^n $ $ y la respuesta está dada por $\color{red}{F{11}=89}$.