Equivalencia de$xI-A$

Question

Deje $A$ e $B$ dos matrices de más de $\mathbb Q[x]$. ¿Cuál es la relación ser el que las condiciones de (1) $\det(xI-A) = \det (xI-B)$ , y que (2) $A$ e $B$ son equivalentes, es decir, existe invertible matrices $P$ e $Q$ sobre $\mathbb Q[x]$ tal que $A = PBQ$.

Hacer estas dos condiciones implican el uno al otro? Si es así, ¿es una prueba? Si uno no implica la otra, ¿por qué no?

Answer 1

No hay relaciones.

Ejemplo 1. Deje $A=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Tienen el mismo polinomio característico ($\det(Ix-A)=\det(Ix-B)=x^2$), pero la única matriz equivalente a $A$ es $A$ sí.

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Ejemplo 2. Deje $A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ Ellos tienen diferentes características polinomios pero si $P=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y $Q=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}$ a continuación, $PBQ=A$.

Answer 2

Ninguna de las condiciones implica la otra. Tome B para ser la matriz $0$ y A para ser la matriz $0$ con un elemento distinto de cero en la esquina superior derecha. det (A-xI) = det (B-xI) pero no hay matrices invertibles P y Q como usted lo requiere.

Para que la segunda condición implique la primera cualquiera de las dos matrices invertibles tendría que tener la misma característica poli, que es absurda