¿No es invertible la matriz de rango completo?

Question

Problema

$A$ es un $4 \times 4$ matriz. Se sabe que $\text{rank}(A)=3$ . ¿Es la matriz A invertible?

Intento de solución

$\text{rank(A)}=3 \implies \det(A)=0$ lo que implica que la matriz es $\textbf{not}$ invertible. Se pierde una dimensión durante la transformación lineal si la matriz no es de rango completo por definición. Esto implica que el determinante será $0$ y que se pierde algo de información en esta transformación lineal.

¿Es correcta mi intuición al respecto?

Answer 1

Esto es exactamente así. Es mejor mencionar el teorema de nulidad de rango: para un mapa lineal $f:U \to V$ tenemos $$\mbox{rank}+\mbox{nullity} = \dim U$$ donde la nulidad es la dimensión del núcleo, $\ker f$ .

Una matriz de cuatro por cuatro representa un mapa lineal $f: U \to V$ donde $\dim U = \dim V = 4$ . Si el rango es tres, entonces $3+\mbox{nullity}=4$ es decir, hay un núcleo unidimensional. Esto significa que el mapa no es inyectivo y no tiene inverso.

Answer 2

Tu intuición parece estar bien. La forma de llegar a esa conclusión depende de las propiedades que hayas visto, y/o de las que te permitan utilizar.

Las siguientes propiedades son equivalente para una matriz cuadrada $A$ :

• $A$ tiene rango completo
• $A$ es invertible
• el determinante de $A$ es distinto de cero

Hay más, pero los dos primeros son suficientes para sacar inmediatamente la conclusión deseada.

Answer 3

Si $A$ y $B$ son matrices para las que $AB$ tiene sentido, entonces $$ \operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\} $$ En particular, para cada $B$ , $\operatorname{rank}(AB)\le\operatorname{rank}(A)=3$ . Puede ahora $AB=I$ ?

Answer 4

$rank(A) = 3 \Rightarrow det(A) = 0$ necesita ser probado, sin embargo es correcto. básicamente, se puede decir que: $rank(A) < dim(A) \Rightarrow det(A) = 0$ pero todavía hay que probarlo. Una forma fácil de demostrarlo es mostrando que obtendrás una fila de ceros cuando intentes usar la reducción bruta.