Característica de un campo no es igual a cero

Question

Que <span class="math-container">$F$</span> un campo tales que para cada <span class="math-container">$x \in F$</span> existe un <span class="math-container">$k >0$</span> tal que <span class="math-container">$x^k=1$</span>. ¿Esto implica que la característica de <span class="math-container">$F$</span> es estrictamente mayor que cero?

Answer 1

Sí. Si la característica es cero entonces el primer subcampo es isomorfo a <span class="math-container">$\mathbb{Q}$</span>, y contiene elementos - por ejemplo, 2 - cuyos poderes no son nunca iguales a 1.

Answer 2

Cada campo de $F$ de característica $0$ contiene (hasta el isomorfismo) en el campo de los números racionales. Si se toma el número racional $\frac{1}{2}$, dicen, entonces no hay ningún número entero $k>0$ tal que $\left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$.

Para un campo finito con $q$ (energía primaria) elementos, uno ha $x^{q-1}=1$ para cada elemento $x\ne 0$ e $x^q=x$ para cada elemento $x$.