Encontrar el conjugado armónico de $T(x,y)= e^{-y} \sin x$ ?

Question

Pruebo los dos métodos siguientes para encontrar el conjugado armónico de $T(x,y)= e^{-y} \sin x$ :

Método 1 : por un método del libro Variables complejas y aplicaciones por Brown y Churchill, capítulo 9, sección 104, $$v(x,y) = \int_{(0,0)}^{(x,y)} -u_t(s, t)\ ds + u_s(s, t)\ dt = \int_{(0,0)}^{(x,y)} e^{-y} \sin x \ dx + e^{-y} \cos x \ dy = -e^{-y} \cos x - e^{-y} \cos x +C = -2e^{-y} \cos x +C$$ que $C$ puede elegirse como cero.

Método 1 : Ya que $T(x,y)= e^{-y} \sin x$ y su conjugado armónico deben ser las partes real e imaginaria de una función analítica, respectivamente, por lo que puede ser $f(z)=-ie^{iz} =e^{-y} \sin x - ie^{-y} \cos x.$

Entonces, ¿por qué hay un extra $2$ ¿coeficiente en el método 1? ¿En qué me he equivocado?

Añadido. Probablemente el método 1 sea erróneo. Viene de si $F_x(x,y) = P(x,y), \ F_y(x,y) = Q(x,y)$ tiene aquí . Por ejemplo, el método da la respuesta correcta para $u=xy$ pero de nuevo da una respuesta errónea para $u=x^3-3xy^2:$ es decir $v=6x^2y-y^3$ pero la correcta es $v=3x^2y-y^3$ . Pero parece imposible que un libro tan famoso se equivoque. (???)

Answer 1

No has calculado correctamente la integral de línea.

Para $u(x,y)=e^{-y}\sin x$ tenemos $u_{,1}(x,y)=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}=e^{-y}\cos x$ y $u_{,2}(x,y)=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-e^{-y}\sin x$ . Por lo tanto, tomando la trayectoria en línea recta $\gamma\colon\tau\in[0,1]\mapsto(x\tau,y\tau)$ unirse a $(0,0)$ a $(x,y)$ tenemos

\begin{align*} &\int_{(0,0)}^{(x,y)} (-u_{,2},u_{,1})(s, t)\cdot(\mathrm{d}s,\mathrm{d}t)\\ &=\int_0^1 (-u_{,2},u_{,1})(\gamma(\tau))\cdot\dot\gamma(\tau)\,\mathrm{d}\tau\\ &=\int_0^1 (-u_{,2},u_{,1})(x\tau,y\tau)\cdot\dot(x,y)\,\mathrm{d}\tau\\ &=\int_0^1 (e^{-y\tau}\sin (x\tau),e^{-y\tau}\cos x\tau)\cdot\dot(x,y)\,\mathrm{d}\tau\\ &=\int_0^1 (xe^{-y\tau}\sin (x\tau)+ye^{-y\tau}\cos x\tau)\,\mathrm{d}\tau\\ &=\Big[-e^{-y\tau}\cos(x\tau)\Big]_{\tau=0}^{\tau=1}=1-e^{-y}\cos x. \end{align*}