Los cevianos$AD$,$BE$,$CF$ son concurrentes, al igual que los cevianos$DP$,$EQ$,$FR$; muestran que$AP$,$BQ$,$CR$ son concurrentes

Question

En $\triangle ABC$, $D$, $E$, e $F$ son puntos en $BC$, $CA$, e $AB$, respectivamente, de tal manera que $AD$, $BE$, e $CF$ son rectas concurrentes. Puntos de $P$, $Q$, e $R$ , respectivamente, en $EF$, $FD$, e $DE$ son tales que $DP$, $EQ$, e $FR$ son concurrentes. Demostrar que $AP$, $BQ$, e $CR$ también son concurrentes.

Me alegro mucho de no llegar cómo proceder en todo. Sé que se supone que el uso del teorema de Ceva, pero cuando lo aplico.

Answer 1

Sí, Ceva una buena opción aquí. Recordemos otra versión del teorema de Ceva

En la imagen de arriba, las tres líneas son concurrentes si y sólo si $$\frac{YI}{IZ}\cdot \frac{ZH}{XH} \cdot\frac{XG}{YG} = 1.$$ Ahora, la razón de las longitudes son iguales a las proporciones de las áreas de ciertos triángulos, más específicamente: $$\frac{YI}{IZ} = \frac{\triangle XYI}{\triangle XZI},\dots$$ en este sentido, basta indicar el triángulo por su área. Pero $$\triangle XYI = \frac12 XY\cdot XI \cdot \sin (\angle YXI), $$ y similares para $\triangle XZI$. Así $$\frac{YI}{IZ} = \frac{XY}{XZ}\cdot \frac{\sin\angle XYI}{\sin \angle ZXI}.$$ Tomando cíclico del producto, tenemos el seno de la versión del teorema de Ceva: Que las tres líneas son concurrentes si y sólo si el producto de la proporción de los senos es igual a $1$.

Ahora que es lo que vamos a utilizar en este problema:

Por eso queremos demostrar que $$\mathcal{F} = \frac{\sin\angle BAP}{\sin\angle PAC}\cdot \frac{\sin\angle ACR}{\sin\angle BCR} \cdot \frac{\sin\angle{CBQ}}{\sin\angle ABQ} = 1.\tag{1}$$ Ahora $$\frac{\sin\angle BAP}{\sin\angle PAC} \cdot \frac{AF}{AE} =\frac{\triangle AFP}{\triangle AEP} = \frac{FP}{PE},$$ y así sucesivamente. Tomando el cíclico del producto de la anterior, obtenemos $$\mathcal{F}\cdot \frac{AF}{AE}\cdot\frac{BD}{BF}\cdot \frac{CE}{CD} = \frac{FP}{PE}\cdot\frac{DQ}{FQ}\cdot\frac{ER}{DR}.$$ Y (1) de la siguiente manera de los clásicos del teorema de Ceva con las apelaciones concurrentes.