Sí, Ceva una buena opción aquí. Recordemos otra versión del teorema de Ceva
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En la imagen de arriba, las tres líneas son concurrentes si y sólo si
YIIZ⋅ZHXH⋅XGYG=1.YIIZ⋅ZHXH⋅XGYG=1.
Ahora, la razón de las longitudes son iguales a las proporciones de las áreas de ciertos triángulos, más específicamente:
YIIZ=△XYI△XZI,…YIIZ=△XYI△XZI,…
en este sentido, basta indicar el triángulo por su área. Pero
△XYI=12XY⋅XI⋅sin(∠YXI),△XYI=12XY⋅XI⋅sin(∠YXI),
y similares para △XZI△XZI. Así
YIIZ=XYXZ⋅sin∠XYIsin∠ZXI.YIIZ=XYXZ⋅sin∠XYIsin∠ZXI.
Tomando cíclico del producto, tenemos el seno de la versión del teorema de Ceva: Que las tres líneas son concurrentes si y sólo si
el producto de la proporción de los senos es igual a 11.
Ahora que es lo que vamos a utilizar en este problema:
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Por eso queremos demostrar que
F=sin∠BAPsin∠PAC⋅sin∠ACRsin∠BCR⋅sin∠CBQsin∠ABQ=1.
Ahora
sin∠BAPsin∠PAC⋅AFAE=△AFP△AEP=FPPE,
y así sucesivamente.
Tomando el cíclico del producto de la anterior, obtenemos
F⋅AFAE⋅BDBF⋅CECD=FPPE⋅DQFQ⋅ERDR.
Y (1) de la siguiente manera de los clásicos del teorema de Ceva con las apelaciones concurrentes.