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Los cevianosADAD,BEBE,CFCF son concurrentes, al igual que los cevianosDPDP,EQEQ,FRFR; muestran queAPAP,BQBQ,CRCR son concurrentes

En ABCABC, DD, EE, e FF son puntos en BCBC, CACA, e ABAB, respectivamente, de tal manera que ADAD, BEBE, e CFCF son rectas concurrentes. Puntos de PP, QQ, e RR , respectivamente, en EFEF, FDFD, e DEDE son tales que DPDP, EQEQ, e FRFR son concurrentes. Demostrar que APAP, BQBQ, e CRCR también son concurrentes.

Me alegro mucho de no llegar cómo proceder en todo. Sé que se supone que el uso del teorema de Ceva, pero cuando lo aplico.

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Quang Hoang Puntos 8066

Sí, Ceva una buena opción aquí. Recordemos otra versión del teorema de Ceva

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En la imagen de arriba, las tres líneas son concurrentes si y sólo si YIIZZHXHXGYG=1.YIIZZHXHXGYG=1. Ahora, la razón de las longitudes son iguales a las proporciones de las áreas de ciertos triángulos, más específicamente: YIIZ=XYIXZI,YIIZ=XYIXZI, en este sentido, basta indicar el triángulo por su área. Pero XYI=12XYXIsin(YXI),XYI=12XYXIsin(YXI), y similares para XZIXZI. Así YIIZ=XYXZsinXYIsinZXI.YIIZ=XYXZsinXYIsinZXI. Tomando cíclico del producto, tenemos el seno de la versión del teorema de Ceva: Que las tres líneas son concurrentes si y sólo si el producto de la proporción de los senos es igual a 11.

Ahora que es lo que vamos a utilizar en este problema:

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Por eso queremos demostrar que F=sinBAPsinPACsinACRsinBCRsinCBQsinABQ=1. Ahora sinBAPsinPACAFAE=AFPAEP=FPPE, y así sucesivamente. Tomando el cíclico del producto de la anterior, obtenemos FAFAEBDBFCECD=FPPEDQFQERDR. Y (1) de la siguiente manera de los clásicos del teorema de Ceva con las apelaciones concurrentes.

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