Entender la estructura de un grupo a través de su descomposición en los subgrupos normales

Question

Estoy confundido con un hecho básico en la teoría de grupos.

"Un grupo finito $G,$ uno puede encontrar una secuencia de subgrupos $$G=H_0\lhd H_1\lhd H_2 \cdot \cdot \cdot \cdot \lhd H_r = \{e\}$$ and such that $H_{k+1}/H_k$ es simple". Ya que uno habla de un grupo en términos generales, a continuación, la declaración debe mantener también para un simple grupo,en el cual la secuencia será trivial. Pero en el caso de $G$ no es simple, por definición, debe ser solucionable, y la instrucción que se debe sostener de nuevo.

Pero luego de leer otra declaración en el álgebra de los libros:

"Dado el grupo finito $G,$ es solucionable si se puede encontrar una secuencia de subgrupos $$G=H_0\lhd H_1\lhd H_2 \cdot \cdot \cdot \cdot \lhd H_r = \{e\}$$ and such that $H_{k+1}/H_k$ es abelian."

1. A mi entender, desde la segunda declaración es más específica que la primera, uno podría concluir que el abelian grupos $H_{k+1}/H_k$ como se indica en la segunda instrucción son simples (en cuyo caso será isomorfo a la cíclica grupos de primer orden), algo que no figura en los libros. En el otro lado, desde la primera declaración debe ser cierto también para la solución de los grupos, debemos concluir que la simple grupo de $H_{k+1}/H_k$ debe ser abelian en el caso de una solución de grupo.

Puede alguien comentar sobre mis conclusiones y decir lo que está mal o verdadero. El enunciado que implica que uno, o, son equivalentes en el caso de solucionable grupos ?

2. También se lee en los libros de álgebra (cito aquí Lang del libro) lo siguiente: "una secuencia ya da información acerca de la $G$. Para obtener un conocimiento completo de $G$, habría que saber cómo estos factores son los grupos reconstruido."

Puede alguien explicar a través de un ejemplo, lo que el conocimiento de $G$ se obtiene a través de una secuencia y cómo proceder a la pieza el factor de grupos juntos.

Muchas gracias.

Answer 1

La primera declaración que usted escribió, que un grupo finito tiene una composición de la serie

$$ 1 \lhd G_1 \lhd G_2 \lhd \cdots \lhd G_n = G $$

con todos los factores simple: este es el llamado Jordan Titular teorema. Esto es cierto para TODOS los grupos finitos.

El segundo tipo de series, donde todos los factores son abelian, no siempre existen. El grupo se llama "solucionable" si una serie existe. Pero no todos los grupos finitos se pueden resolver. Tal vez soy yo la incomprensión de tu post, pero parece que tal vez estás confundiendo las dos nociones. Ellos están diciendo dos cosas diferentes.

Como ejemplo, tome $G = S_5$, el grupo simétrico de grado 5. A continuación, un Jordania Titular de la serie está dada por

$$ 1 \lhd A_5 \lhd S_5 $$

Aquí, $A_5$ es la alternancia de grupo. Los factores se $A_5/1 \cong A_5$ e $S_5/A_5 \cong \Bbb{Z}_2$, que son a la vez simple. Sin embargo, $A_5$ NO es abelian, por lo que este no es un ejemplo de una solución de la serie. Esto ilustra mi punto de que no son dos nociones diferentes. Esto se refiere a su punto #1 en tu post.

A la dirección de su pregunta/punto #2, veamos un pequeño ejemplo: el grupo simétrico $S_3$. Tenemos el mismo Jordan-Titular de serie como el anterior:

$$ 1 \lhd A_3 \lhd S_3 $$

En este caso menor, $A_3 \cong \Bbb{Z}_3$, y esto en realidad es también una solución de la serie. Esta es sólo una coincidencia, ya que el ejemplo de arriba muestra que esto no siempre sucede. En cualquier caso, el factor de grupos se $\Bbb{Z}_3/1 \cong \Bbb{Z}_3$ e $S_3/\Bbb{Z}_3 \cong \Bbb{Z}_2$. Desde $A_3 = \Bbb{Z}_3$ es un subgrupo normal de $S_3$, y desde el que podemos identificar el cociente $\Bbb{Z}_2$ con un subgrupo de $S_3$ (es decir que se genera por una de las transposiciones), entonces usted puede ver que $S_3$ puede ser comprendido como el semidirect producto $S_3 \cong \Bbb{Z}_3 \rtimes \Bbb{Z}_2$ (estoy dejando algunos detalles...). Así que la estructura del grupo de $S_3$ está determinado por las piezas y la forma en que "encajan" (es decir, la semidirect la estructura del producto).