Estabilidad de$y = \cos(2t)$ para la oda$y'' + 4y = 0$

Question

Quiero examinar la estabilidad de la solución de $\phi = \cos(2t)$ de la ode $y'' + 4y = 0$.

Sé que la solución general de esta oda es $y = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t)$. Para examinar la estabilidad de mi solución, tengo que ver si otras soluciones de mantenernos cerca de partida en $t = 0$. Será asintóticamente estable si otras soluciones que convergen a ella.

Así, cuando se $t = 0$, $\phi(0) = \cos(0) = 1$. y $\phi'(0) = -\sin(0) =0$. Pero.. ¿cómo puedo recoger $y(t)$ , de modo que $y(0)$ comienza cerca de $1$ e $y'(0)$ está cerca de a $0$? Entonces, ¿qué?

Bien, $y(t) = 1$ cuando $t = 0$ e al $t = 0$, $y'(0) = 1$. No estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Como todas las soluciones son periódicas, esto es estable pero no asintóticamente estable: las soluciones que comienzan de cerca se mantienen cercanas, pero no convergen a su solución.

Answer 2

Tenga en cuenta que :

$$-1 \leq \sin(2t) \leq 1 \quad \text{and} \quad -1 \leq \cos(2t) \leq 1$$

Eso significa que la solución va a ser limitada, digamos, algunos $m \in \mathbb R$ e $M \in \mathbb R$, tal que :

$$m \leq y(t) \leq M$$

Esto automáticamente nos dice que el sistema es estable, ya que sus soluciones no difieren de los valores de $c_1,c_2 \in \mathbb R$ constantes arbitrarias.

Pero, tenga en cuenta que los límites de $\lim_{t\to \infty} \sin(2t)$ e $\lim_{t\to \infty} \cos(2t)$ no existe, lo que significa que sus soluciones no obtener arbitraria cerca el uno del otro.

Por lo tanto, la educación a distancia solución es simplemente estable.

Para una definición más formal (lo que demuestra nuestras conclusiones anteriores) recordemos que :

Definición : Una solución de una edo es estable si para cada a$\varepsilon >0$ existe $\delta >0 $ si $\hat{y}(t)$ satisface la educación a distancia, es : $$\|\hat{y}(t) - y(t_0) \| \leq \delta \implies \|\hat{y}(t) - y(t)\| \leq \varepsilon \; \forall t \geq t_0$$