Con la métrica $d(x,y)=|x-y|$ a $\Bbb Q$ y la topología en $\Bbb Q$ generado por $d$: Para $q\in K$ deje $r(q)=\min (q-\sqrt 2\,,\sqrt 3 -q\,).$ Deje $K(q)=\{q'\in \Bbb Q: d(q',q)<r(q)\}.$
A continuación, $K(q)$ está abierto en $\Bbb Q$ e $q\in K(q)\subset K.$
Por lo $\cup_{q\in K}K(q)$ está abierto en $\Bbb Q.$ Y tenemos $K=\cup_{q\in K}
\,\{q\}\subconjunto \cup_{q\in K}\,K(q)\subconjunto \cup_{q\in K}\,K=K,$ so $K=\cup_{q\in K}K(q)$ is open in $\Bbb P.$
Un fácil de pasar por alto punto sobre esto Q:
(yo). Deje $T$ ser una topología en un conjunto $X$ y deje $Y \subset X.$ La topología de subespacio $T|Y$ a $Y$ se define como $T|Y=\{t\cap Y:t\in T\}. $ Si $B$ es una base (base) por $T$ entonces $B|Y=\{b\cap Y: b\in B\}$ es una base para $T|Y.$
(ii).Supongamos $T$ es generado por una métrica $d$ a $X,$ , de modo que el conjunto de $B$ de abrir $d$-bolas de $X$ es una base para $T$. Por lo $B|Y$ es una base para $T|Y.$
PERO, en general, $B|Y$ puede NO ser el conjunto de abrir $d$-bolas de $Y.$ abierta $d$-bola de $Y$ es $B_d^Y(y,r)=\{y'\in Y: d(y',y)<r\},$ para algunos $y\in Y, $ que no pertenecen a $B|Y,$ pero puede haber otros miembros de $B|Y.$
Por ejemplo, en su Q, $X=\Bbb R$ e $Y=\Bbb Q$ e $d(u,v)=|u-v|,$ el conjunto $K$ pertenece a $B|Y$ pero no es una bola de $\Bbb Q$ porque $(\sqrt 2 +\sqrt 3)/2\not \in \Bbb Q.$
(iii). En el caso general, para la métrica spacess es un útil, ampliamente utilizados resultado de que cada miembro de $B|Y$ es una unión de abrir $d$-bolas de $Y,$ por lo que la topología de subespacio $T|Y,$ como un subespacio de $X,$ coincide con la topología en $Y$ generado por la métrica $d|_{Y\times Y}.$
