GR con Torsión: Definición de contorsión

Question

Empiezo a hacer algunos cálculos en variedades con torsión no evanescente y las cosas se ponen un poco confusas, básicamente por las notaciones y definiciones. Entiendo que en presencia de torsión no evanescente, uno tiene dos objetos fundamentales: \begin{align} \text{The metric} \quad g_{\mu\nu} & & \text{The torsion tensor} \quad T{^\rho}_{\mu\nu} \end{align} El tensor de torsión se define como \begin{equation} T{^\rho}_{\mu\nu} \equiv \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu}-\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\nu\mu} = 2\tilde{\Gamma}{^\rho}_{[\mu\nu]} \end{equation} donde $\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu}$ es la conexión afín de modo que las derivadas covariantes $\nabla_{\mu}$ de cualquier vector $A^{\rho}$ y cualquier forma $a_{\nu}$ son respectivamente \begin{align} \nabla_{\mu}A^{\rho} = \partial_{\mu}A^{\rho} +\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu}A^{\nu} & & \nabla_{\mu}a^{\nu} = \partial_{\mu}a^{\nu} -\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu}a^{\rho} & & \end{align} En Artículo de Shapiro (2001) dice (página 8, ecuaciones (2.8) y 2.9)):

T permite expresar la conexión a través de la métrica y la torsión de forma única a \begin{equation} \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu}+K{^\rho}_{\mu\nu} \end{equation} donde $K{^\rho}_{\mu\nu}$ es el tensor de contorsión defin \begin{equation} K{^\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\left(T{^\rho}_{\mu\nu}-T{_\mu}{^\rho}{_\nu}-T{_\nu}{^\rho}{_\mu}\right) \tag{1} \end{equation}

He intentado derivar esta última fórmula, pero encuentro un resultado diferente. Aquí está mi derivación: \begin{align} \nabla_{\mu}g_{\rho\nu} & = \partial_{\mu}g_{\rho\nu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\rho}g_{\sigma\nu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} = 0 \\ \nabla_{\nu}g_{\rho\mu} & = \partial_{\nu}g_{\rho\mu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\rho}g_{\sigma\mu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\mu}g_{\rho\sigma} = 0 \\ -\nabla_{\rho}g_{\mu\nu} & = -\partial_{\rho}g_{\mu\nu}+\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}+\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\rho\nu}g_{\mu\sigma} = 0 \end{align} Sumando estas tres ecuaciones se obtiene \begin{align} {\color{blue}{\Big(\partial_{\mu}g_{\rho\nu}+\partial_{\nu}g_{\rho\mu}-\partial_{\rho}g_{\mu\nu}\Big)}} +g_{\nu\sigma}\Big(\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\rho\mu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\rho}\Big)& +g_{\mu\sigma}\Big(\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\rho\nu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\rho}\Big)+\\ & {\color{red}{-g_{\rho\sigma}\Big(\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\nu}+\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\mu}\Big)}} = 0 \tag{2} \end{align} Utilizando el hecho de que $\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\mu} = \tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\nu}+T{^\sigma}_{\nu\mu}$ e introduciendo los símbolos de Christoffel \begin{equation} \Gamma{^\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\rho\sigma}\left(\partial_{\mu}g_{\sigma\nu}+\partial_{\nu}g_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}\right) \end{equation} Podemos reescribir (2) como \begin{equation} {\color{red}{2g_{\rho\sigma}\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\nu}}} = {\color{blue}{2g_{\rho\sigma}\Gamma{^\sigma}_{\mu\nu}}}{\color{red}{-g_{\rho\sigma}T{^\sigma}_{\nu\mu}}}+g_{\nu\sigma}T{^\sigma}_{\rho\mu}+g_{\mu\sigma}T{^\sigma}_{\rho\nu} \end{equation} Por lo tanto, obtenemos \begin{align} \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} & = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu} -\frac{1}{2}\Big(T{^\rho}_{\nu\mu}-T{_\mu}{^\rho}{_\nu}-T{_\nu}{^\rho}{_\mu}\Big) = \\ & = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu} +\frac{1}{2}\Big(T{^\rho}_{\mu\nu}+T{_\mu}{^\rho}{_\nu}+T{_\nu}{^\rho}{_\mu}\Big) = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu}+K{^\rho}_{\mu\nu} \tag{3} \end{align}

Obviamente, los tensores de contorsión de (1) y (3) no coinciden. En realidad, la definición de $K{^\rho}_{\mu\nu}$ que obtuve puede escribirse como \begin{equation} K{^\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\Big(T{^\rho}_{\mu\nu}-T{_{\mu\nu}}{^\rho}+T{_\nu}{^\rho}{_\mu}\Big) \end{equation} que es la definición que he encontrado en otras referencias. ¿Qué es lo que ocurre? En última instancia, ¿qué debo tomar como definición de la contorsión?

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Editar El principal problema aquí es que (si he hecho las cosas bien) utilizando las convenciones de Shapiro (2001) para los tensores de torsión y de contorsión, al final obtengo un resultado diferente al suyo.

Answer 1

He decidido responder a mi propia pregunta porque, con suerte, he encontrado al menos algunos resultados coherentes.

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En Shapiro(2001) algo no funciona : Digo esto porque según su definición \begin{align} \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu} + K{^\rho}_{\mu\nu} & & K{^\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\left(T{^\rho}_{\mu\nu}-T{_\mu}{^\rho}{_\nu}-T{_\nu}{^\rho}{_\mu}\right) \end{align} Por supuesto, la conexión afín debe satisfacer la condición de metricidad $\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0$ . Por lo tanto obtenemos la ecuación \begin{equation} \nabla_\sigma g_{\mu\nu}=\partial_\sigma g_{\mu\nu}-\Gamma{^\rho}_{\sigma\mu}g_{\rho\nu}-\Gamma{^\rho}_{\sigma\nu}g_{\mu\rho}-K{^\rho}_{\sigma\mu}g_{\rho\nu}-K{^\rho}_{\sigma\nu}g_{\mu\rho} \end{equation} Sustituyendo la expresión de los símbolos de Christoffel, los tres primeros términos de las ecuaciones anteriores se cancelan y queda (bajando todos los índices para simplificar) \begin{equation} -K_{\nu\sigma\mu}-K_{\mu\sigma\nu} = -\left(T_{\nu\sigma\mu}-T_{\sigma\nu\mu}-T_{\mu\nu\sigma}\right)\neq 0 \end{equation} Por lo tanto, no se cumple la condición de metricidad; por lo tanto, o bien hice algo mal en estos cálculos, o bien algo no está bien definido en el documento.

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Entonces encontré dos convenciones de orden de índices (por supuesto equivalentes) en las que a menudo se introducen la torsión y la contorsión:

De la primera manera: Tener la métrica $g_{\mu\nu}$ y la conexión afín $\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu}$ se define la torsión como \begin{equation} T{^\rho}_ {{\color{green}{\mu\nu}}} \equiv 2\tilde{\Gamma}{^\rho}_{[\mu\nu]} = \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} -\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\nu\mu} \end{equation} Decido escribir en verde los índices que en un tensor son antisimétricos. Por lo tanto en esta primera convención el tensor de torsión es antisimétrico en los dos últimos índices. Entonces se puede calcular de nuevo \begin{align} \nabla_{\mu}g_{\rho\nu} & = \partial_{\mu}g_{\rho\nu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\rho}g_{\sigma\nu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} = 0 \tag{1.a}\\ \nabla_{\nu}g_{\rho\mu} & = \partial_{\nu}g_{\rho\mu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\rho}g_{\sigma\mu}-\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\nu\mu}g_{\rho\sigma} = 0 \tag{1.b}\\ -\nabla_{\rho}g_{\mu\nu} & = -\partial_{\rho}g_{\mu\nu}+\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}+\tilde{\Gamma}{^\sigma}_{\rho\nu}g_{\mu\sigma} = 0 \tag{1.c} \end{align} Sumando estas tres ecuaciones se obtiene \begin{equation} \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu}+\frac{1}{2}\left(T{^\rho}_{{\color{green}{\mu\nu}}}-T_{\mu{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}}+T_{\nu}{^{\color{green}{\rho}}}_{{\color{green}{\mu}}}\right) \end{equation} Es fácil comprobar que la combinación entre paréntesis es antisimétrica en el intercambio de $\nu$ y $\rho$ . Entonces se puede definir la contorsión como \begin{equation} K_{\mu{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}} \equiv \frac{1}{2}\left(T{^\rho}_{{\color{green}{\mu\nu}}}-T_{\mu{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}}+T_{\nu}{^{\color{green}{\rho}}}_{{\color{green}{\mu}}}\right) \end{equation}

Segundo camino: Teniendo de nuevo la métrica $g_{\mu\nu}$ y la conexión afín $\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu}$ se puede definir la torsión cambiando el orden de los índices de la siguiente manera \begin{equation} T_ {{\color{green}{\mu\nu}}}{^\rho} \equiv 2\tilde{\Gamma}{^\rho}_{[\mu\nu]} = \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} -\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\nu\mu} \end{equation} Por lo tanto, en esta segunda convención la torsión es antisimétrica en los dos primeros índices. De nuevo se pueden escribir las tres ecuaciones (1.a) (1.b) y (1.c); su suma da \begin{equation} \tilde{\Gamma}{^\rho}_{\mu\nu} = \Gamma{^\rho}_{\mu\nu}+\frac{1}{2}\left(T_{{\color{green}{\mu\nu}}}{^\rho}-T_{{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}}_{\mu}+T{^{\color{green}{\rho}}}_{{\color{green}{\mu}}\nu}\right) \end{equation} De nuevo, la cantidad entre paréntesis es antisimétrica en $\nu$ y $\rho$ y la contorsión puede definirse como \begin{equation} K_{\mu{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}} \equiv \frac{1}{2}\left(T_{{\color{green}{\mu\nu}}}{^\rho}-T_{{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}}_{\mu}+T{^{\color{green}{\rho}}}_{{\color{green}{\mu}}\nu}\right) \end{equation}

Por supuesto, también se puede cambiar el orden de los índices en el tensor de contorsión. Por ejemplo, en el segunda vía (o análogamente para el primer caso ) se puede decir \begin{equation} K{^{\color{green}{\rho}}}_{{\color{green}{\nu}}\mu} \equiv \frac{1}{2}\left(T_{{\color{green}{\mu\nu}}}{^\rho}-T_{{\color{green}{\nu}}}{^{\color{green}{\rho}}}_{\mu}+T{^{\color{green}{\rho}}}_{{\color{green}{\mu}}\nu}\right) \end{equation} Por supuesto, esto no cambia el orden de los índices en la combinación de la derecha.

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Por último, tras la respuesta de @Saksith Jaksri en Tensor de torsión: definición Subrayo que en cada artículo se debe tener cuidado en cómo se define la "derivada covariante", a saber \begin{align} \nabla_{{\color{red}{\mu}}}A^{\rho} & = \partial_{\mu}A^{\nu} +\tilde{\Gamma}{^\rho}_{{\color{red}{\mu}}\nu}A^{\nu} \tag{A}\\ \nabla_{{\color{red}{\mu}}}A^{\rho} & = \partial_{\mu}A^{\nu} +\tilde{\Gamma}{^\rho}_{\nu{\color{red}{\mu}}}A^{\nu} \tag{B} \end{align} En mi respuesta he utilizado la convención (A). Por supuesto, en el caso de que se utilice (B) las cosas cambian ligeramente. Así que cuando la torsión comienza a jugar un papel, uno tiene que seguir la pista de todas las convenciones de orden de índices de cada autor.

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edición final: En realidad me parece que si se utiliza la convención (B) en Shapiro(2001) todo parece funcionar, también para algunas otras ecuaciones escritas más adelante en el documento, aunque en la ecuación (2.1) (página 6) introduce claramente la derivada covariante siguiendo (A). Sin embargo tengo que decir que no leí todo el documento, así que no puedo estar completamente seguro de esta posible solución.

Answer 2

Aquí están las expresiones para las distintas convenciones después de pasar por los cálculos:

Si los coeficientes de conexión se definen de forma que $\nabla_{a}w^{b}=\partial_{a}w^{b}+\Gamma^{b}{}_{ca}w^{c}$ entonces la definición usual de la torsión como $\vec{T}\left(v,w\right)=\nabla_{v}w-\nabla_{w}v$ corresponde al tensor $T^{c}{}_{ab}=\Gamma^{c}{}_{ba}-\Gamma^{c}{}_{ab}$ lo que da lugar al tensor de contorsión

$$K_{abc} = \frac{1}{2}\left(T_{bac}+T_{cab}-T_{abc}\right).$$

Por la razón que sea, muchos trabajos parecen ceñirse a los coeficientes de conexión $\nabla_{a}w^{b}=\partial_{a}w^{b}+\Gamma^{b}{}_{ca}w^{c}$ sino definir el tensor de torsión con signo invertido $T^{c}{}_{ab}=\Gamma^{c}{}_{ab}-\Gamma^{c}{}_{ba}$ esto invierte el signo del tensor de contorsión, que puede escribirse como

$$\begin{aligned}K_{abc} & = -\frac{1}{2}\left(T_{bac}+T_{cab}-T_{abc}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(T_{abc}-T_{bac}-T_{cab}\right). \end{aligned}$$

Este es el enfoque adoptado en la Página de Wikipedia en el momento de escribir esto, y es también la expresión en Shapiro, que como el OP señaló es inconsistente con los coeficientes de conexión definidos de tal manera que $\nabla_{a}w^{b}=\partial_{a}w^{b}+\Gamma^{b}{}_{ac}w^{c}$ en cambio, esta convención del coeficiente de conexión, cuando se combina con la definición del tensor de torsión $T^{c}{}_{ab}=\Gamma^{c}{}_{ab}-\Gamma^{c}{}_{ba}$ que en este caso es coherente con $\vec{T}\left(v,w\right)=\nabla_{v}w-\nabla_{w}v$ resulta un tensor de contorsión

$$K_{abc} = \frac{1}{2}\left(T_{abc}+T_{cab}+T_{bac}\right).$$

Aunque no lo he encontrado en la bibliografía, si se definiera la torsión con el signo opuesto, se invertiría el signo del tensor de contorsión.

Estas expresiones también siguen siendo válidas en un marco anholonómico, donde

$$\vec{T}\left(v,w\right)=\nabla_{v}w-\nabla_{w}v-\left[v,w\right]$$

y

$$\begin{aligned}2\Gamma^{c}{}_{ba}=g^{cd}( & \partial_{a}g_{bd}+\partial_{b}g_{da}-\partial_{d}g_{ab}\\ & -g_{af}[e_{b},e_{d}]^{f}+g_{bf}[e_{d},e_{a}]^{f}+g_{df}[e_{a},e_{b}]^{f}). \end{aligned}$$