Dominios de$H$ y$U(t) = \exp(-iH t )$

Question

Yo no estoy tan familiarizado con el análisis funcional. Pero en mi impresión, el Hamiltoniano $H$ no es a menudo definido en todas partes en el espacio de Hilbert. Por otro lado, el tiempo de evolución operador $U(t)$, que se define formalmente como $U(t)= \exp(-iH t)$, como un operador unitario, puede ser (y es) definido en todas partes en el espacio de Hilbert.

Cómo conciliar estos dos hechos? Podemos recuperar el Hamiltoniano de la evolución en el tiempo del operador, ¿verdad? Entonces, ¿cómo el dominio de tamaño en este proceso?

Answer 1

El dominio no se reduce, simplemente la función de $t\mapsto U(t)\psi$ es continua para todos los $\psi\in \mathscr{H}$ , pero en general es diferenciable sólo cuando $\psi$ pertenece a un denso conjunto (el dominio de la Hamiltoniana). $H$ se obtiene tomando la derivada en $t=0$, y mirando a la acción en cualquier punto del dominio de la diferenciabilidad.

Si y sólo si el Hamiltoniano es acotado, entonces el mapa es diferenciable en todas partes, y, en particular, $U(t)$ es también diferenciable en norma.

Por el contrario, desde el Hamiltoniano es posible definir $U(t)$ rigurosamente como la exponencial compleja por los llamados funcionales cálculo de sí mismo-adjoint operadores. El resultado del operador está definido en todas partes y unitaria por la construcción.

Answer 2

Recuperar el Hamiltoniano de $U(t)$ de esta manera: $$ H|\psi\rangle = \lim_{t\to 0} \frac {\mathrm i} t ( U(t) - I) |\psi\rangle $$ Este límite no existe para todos los $|\psi\rangle$. Deje $D$ ser el conjunto de todos los $|\psi\rangle$ donde el límite no existe, $H$ es auto-adjunto en el dominio $D$.

Esta es la Piedra del Teorema.

Answer 3

He aquí un ejemplo claro para ilustrar lo que se ha dicho en otras respuestas, mediante el impulso del operador ( = el generador de traducciones en el espacio) en lugar de la de Hamilton ( = el generador de traducciones en el tiempo).

Considere la posibilidad de los familiares de la construcción en la que cada vector $|\psi\rangle$ en el espacio de Hilbert es representado por algunos de cuadrado integrable función de $\psi(x)$ de una sola variable. Definir un operador $U(a)$por $$ U(a)\psi(x)=\psi(x+a). $$ Este operador está claramente definida en todo el espacio de Hilbert. Es unitario, porque \begin{align*} \int dx\ \psi_1^*(x)U(a)\psi_2(x) &= \int dx\ \psi_1^*(x)\psi_2(x+a) \\ &= \int dx\ \psi_1^*(x-a)\psi_2(x) \\ &= \int dx\ \big(U(-a)\psi_1(x)\big)^*\psi_2(x) \\ &= \int dx\ \big(U^{-1}(a)\psi_1(x)\big)^*\psi_2(x), \end{align*} por lo $U^{-1}(a)=U^\dagger(a)$. Cuando $U(a)$ está actuando en un suave función de $\psi(x)$, se puede escribir como $$ U(a)\psi(x) = \exp\left (\frac{d}{dx}\right)\psi(x). $$ (Estoy omitiendo factores de $i$ que se cancelan el uno al otro.) El generador de $i\,d/dx$ no está definida en todo el espacio de Hilbert. Por ejemplo, no está definido en $\psi(x)=|x|^{-1/4}\exp(-x^2)$, aunque esta función representa un legítimo vector en el espacio de Hilbert, debido a que la derivada de esta función no es cuadrado integrable (y por lo tanto no representar cualquier vector en el espacio de Hilbert). Aún así, el dominio de $d/dx$ es denso en el espacio de Hilbert, ya que cualquier función que no definidos se puede aproximar arbitrariamente bien por uno en el que se está definida. Por ejemplo, la función de $\psi(x)=|x|^{-1/4}\exp(-x^2)$, puede ser arbitrariamente bien aproximada por una que permanece finita como $|x|\rightarrow 0$.