Ejemplo de norma sobre $\mathbb{R}^2$ que NO es absolutamente monótona.

Question

Llamamos a una norma $\|\cdot\|$ en $\mathbb{R}^n$ absolutamente monótono si $$ |a_i| \leq |b_i|, i=1,\cdots,n \implies \|a\| \leq \|b\|. $$

¿Cuál es un ejemplo de norma en $\mathbb{R}^2$ que no es absolutamente monótona?

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Este es un ejercicio que se deja al lector, así que presumiblemente no es demasiado difícil. Pero me está dando problemas.

Los sospechosos habituales que nos vienen a la mente, es decir, el $\ell^p$ normas, $p \in [1,\infty]$ son todos absolutamente monótonos.

Answer 1

Considere la posibilidad de un $A(x,y):=(x,y-x)$ y luego la norma $\|(x,y)\|:=\|A(x,y)\|_1$ . Entonces $\|(1,0)\|=2$ pero $\|(1,1)\|=1$ .

Sin embargo, es interesante que por cada norma $\|\cdot\|:\mathbb{R}^2\to[0,\infty)$ existe un mapa lineal $A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ tal que $\|\cdot\|\circ A$ es una norma absolutamente monótona.

Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que una norma es absolutamente monótona si (y sólo si, puedo añadir) el menor rectángulo alineado con el eje que contiene el disco unitario toca el círculo unitario en las intersecciones con el $x$ - y $y$ -eje. Esto es una consecuencia de la desigualdad del triángulo. Así que si encontramos vectores $v$ y $u$ en la esfera unitaria tal que el disco unitario está contenido en el paralelogramo $[-1,1]v\times[-1,1]u$ entonces el único mapa lineal que envía $v$ a $(1,0)$ y $u$ a $(0,1)$ es suficiente.

Para encontrar este tipo de $v$ y $u$ utilizaremos el teorema del valor intermedio. Para cualquier ángulo $\theta$ dejar $v(\theta)$ sea el único vector en la esfera unitaria con ángulo $\theta$ con respecto al origen. La unicidad se desprende de la propiedad de escalamiento y de la no-degeneración de las normas, y la continuidad se desprende de la desigualdad del triángulo. Entonces, dejemos que $u(\theta)$ sea el vector de la esfera unitaria más a la izquierda de la línea generada por $v(\theta)$ . Un poco de problema aquí es que $u(\theta)$ no siempre está definida de forma única, y $\theta\mapsto u(\theta)$ sólo es continua en los puntos donde está definida de forma única. Sin embargo, por ahora sólo hay que pretender que es una función continua bien definida, y volveré a esto más tarde.

Ahora encontramos que $\mathbb{R}v\times[-1,1]u$ contiene el disco de la unidad. Lo más importante es que la intersección del disco unitario con $(1,\infty)v\times[-1,1]u$ está totalmente contenida en cualquiera de los dos $(1,\infty)v\times[-1,0]u$ o $(1,\infty)v\times[0,1]u$ debido a la desigualdad del triángulo. Si para algún $\theta$ esta intersección se encuentra en uno de los dos, entonces si nos movemos $\theta$ de manera que el nuevo $v(\theta)$ es donde el viejo $u(\theta)$ era, la intersección estará en la otra. Para algunos $\theta$ entre ellos, por lo que debemos tener que la intersección no se encuentra en ninguno de ellos. Por tanto, el disco unitario estará contenido en $[-1,1]v\times[-1,1]u$ .

Por último, volver al pequeño problema. Para tal problemática $\theta$ puedes imaginarte arreglando $v(\theta)$ mientras se mueve $u(\theta)$ continuamente a lo largo del conjunto de todos los valores posibles.

Esto es un poco heurístico, pero espero que sea convincente de todos modos.

Answer 2

Me gustaría dar una respuesta similar a la de Smiley-Craft pero desde un punto de vista diferente:

La norma estándar sobre $\mathbb{R}^2$ viene dada por $\|(a,b)\|= \sqrt {a^2+b^2}$ . Podemos definir una norma similar utilizando una base diferente.

Dado $u,v$ una base de $\mathbb{R}^2$ . Podemos definir la norma de $w$ por $$\|w\| = \sqrt{a^2+b^2}$$ donde $w=au+bv$ .

Es un ejercicio fácil demostrar que se trata efectivamente de una norma (la misma prueba que en el caso de la norma estándar).

Como podemos cambiar las coordenadas, será muy fácil definir una norma no monótona:

Por ejemplo, elija $u=(\frac{1}{2},0)$ y $v=(1,1)$ entonces $\|(1,0)\| = 2$ mientras que $\|(1,1)\| = 1$ .

Nota al margen: Es una cuestión interesante si toda norma es absolutamente monótona con respecto a alguna base. Supongo que la respuesta es sí, pero aún no sé cómo abordar esta cuestión.

Answer 3

He aquí una forma de dar una respuesta utilizando la menor intuición geométrica posible.

La norma estándar sobre $\mathbb{R}^2$ se puede escribir como:

$$ \left\Vert \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right\Vert^{\;2} \mapsto \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}^T \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \tag{1} $$

o

$$ \left\Vert \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right\Vert^{\;2} \mapsto a^2 + b^2 \tag{2} $$

Lo que deja claro de inmediato que, para una elección arbitraria $(a_1, b_1)$ y $(a_2, b_2)$ .

$$ \frac{a_1^2 \le a_2^2 \;\;\;\;\text{and}\;\;\;\; b_1^2 \le b_2^2}{a_1^2 + b_1^2 \le a_2^2 + b_2^2} \tag{3} $$

Si miramos fijamente (1) y (2), nos sugiere que añadiendo un término cruzado podemos "penalizar" los componentes negativos, así que elijamos uno sencillo, llamemos a la nueva norma $\nu$ .

$$ \left\Vert \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right\Vert^{\;2}_{\,\nu} \mapsto \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}^T \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \tag{4} $$

$$ \left\Vert \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right\Vert^{\;2}_{\,\nu} \mapsto a^2 + ab + b^2 \tag{5} $$

Escojamos $(a_1, b_1) = (2, 2)$ y $(a_2, b_2) = (-3, 3)$ .

$$ \left\Vert \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\Vert^{\;2}_{\,\nu} = 4 + 4 + 4 = 12 \tag{6} $$

$$ \left\Vert \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\Vert^{\;2}_{\,\nu} = 9 - 9 + 9 = 9 \tag{7} $$

Así que, $(2, 2)$ y $(-3, 3)$ efectivamente demuestra que $\nu$ no es absolutamente monótona.

Sólo queda comprobar que es una norma real.

Los axiomas de la norma son:

$$ \nu\,(\alpha v) = |\alpha| \,\nu\,(v) \tag{8} $$ $$ \nu\,(u+v) \le \nu\,(u) + \nu\,(v) \tag{9} $$ $$ \nu\,(v) = 0 \implies v = \vec{0} \tag{10} $$

(8) se desprende del hecho de que la multiplicación de matrices es lineal. (10) se debe a la invertibilidad de $\left[\begin{smallmatrix}1& 1\\0& 1\end{smallmatrix}\right]$

Creo que la forma más directa de demostrar (9) es observar que la matriz $\left[\begin{smallmatrix}1& 1\\0& 1\end{smallmatrix}\right]$ es triangular superior y, por tanto, sus valores propios con multiplicidad son el subconjunto $\{1, 1\}$ . Como todos sus valores propios son positivos, la matriz es definida positiva y, por tanto, la forma cuadrática $\nu\,(u) = u^T \left[\begin{smallmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{smallmatrix}\right] u$ es una norma.