Prueba de la existencia de un campo del vector de Killing no trivial es equivalente a la existencia de un no trivial $S^1$-acción

Question

¿Donde puedo encontrar prueba de siguiente clásico?

La existencia de un campo del vector matanza no trivial en un múltiple compacto <span class="math-container">$M$</span> de Riemann es equivalente a la existencia de un no trivial <span class="math-container">$\Bbb S^1$</span>-acción en <span class="math-container">$M$</span>.

¿Hay ningún contraejemplo en caso de no-compacto?

Answer 1

El grupo $\text{Isom}(M)$ tiene la forma de una Mentira grupo; si $M$ es compacto, esta Mentira grupo es compacto.

Dado que no-trivial de la Matanza de campo vectorial, esto le da un mapa de $X: \Bbb R \to \text{Isom}(M)$; su imagen es un conmutativa subgrupo. El cierre de la imagen de $X$ todavía es conmutativa (la ecuación de $ab = ba$ que es verdad en un abierto denso subconjunto de $\bar X \times \bar X$) y un subgrupo. Si $M$ es compacto, este subgrupo, a continuación debe ser compacta, debido a $\bar X$ es un compacto, conectado, no trivial abelian Mentira grupo por lo tanto tenemos a $\bar X \cong T^n$ para algunos $n>0$. En particular, hay un círculo subgrupo de $\text{Isom}(M)$, y, por tanto, un fiel acción de $S^1$ a $M$ por isometrías.