Cómo introducir el tensor de tensiones en los colectores?

Question

Quiero entender el tipo de tensor de tensiones $\mathbf{P}$ en la física clásica.

Por lo general en física se dice que la fuerza de $\text d \boldsymbol F$ (vector) que actúa sobre un área infinitesimal $\text d \boldsymbol s$ (vector) es igual a

$\text d \boldsymbol F = \mathbf{P} \cdot \text d \boldsymbol s$

donde $\cdot$ es un "producto escalar".

¿Cómo puede ser rigourised? Supongo dirigida área puede ser $\star s$ donde $s$ es una 2-forma, pero se puede evitar el uso de $\star$ mediante el empleo de la forma de volumen, por ejemplo? La fuerza debe ser de 1-forma.

Cómo es el poder de las fuerzas de superficie que está escrito? Generalmente está dada por

$$\frac{dA}{dt} = \int_S \boldsymbol v \cdot \text d \boldsymbol F$$

$\boldsymbol v$ la velocidad de la superficie del cuerpo deformado.

¿Cuál sería el correspondiente formulario local, que es la densidad de potencia de las fuerzas de superficie?

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ACTUALIZACIÓN 1

Si ayuda, he encontrado todo un apéndice "de La Clásica Tensor de tensiones de Cauchy y las Ecuaciones de Movimiento" en el libro "La Geometría de la Física: Una Introducción" por Theodore Frankel. En particular se dice

El Cauchy estrés debe ser un vector con valores de pseudo-$(n - 1)$-forma.

Sin embargo, actualmente no sé qué significa. Un mayor desarrollo en el libro es más bien oscuro y tengo miedo de que "pseudo". Si una cosa que se llama "pseudo-algo" preferiría que se declaró como "real otra cosa".

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ACTUALIZACIÓN 2

Tensor de tensiones también puede ser visto como un (molecular), el flujo de momentum. Entonces la ecuación de equilibrio de momentos sería la segunda ley de Newton. Probablemente este enfoque sería más fructífero, análogos se puede hacer con el flujo de la densidad.

Answer 1

Es importante distinguir entre covariante y contravariante índices de un tensor. Formas diferenciales son totalmente antisimétrico covariante del tensor de campos. Así, un 2-formulario 2 covariante índices, y cuando se intercambia, el signo de los cambios. Contravariante índices se escriben como superior de los índices e índices covariantes como la reducción de los índices. Usted puede subir y bajar los índices mediante el uso de una métrica. Ahora, el tensor de tensiones tiene una covariante índice y uno contravariante índice. Al bajar la contravariante índice, se obtiene un simétrica del tensor de campo, no de una forma diferenciada. En coordenadas locales, usted simplemente tiene una matriz asociada a cada punto, decir ${\bf P}(\vec x)$.

La manera más fácil de entender lo que el tensor de tensiones es imaginar el efecto de deformaciones infinitesimales en el interior del cuerpo, descrito por un vector de campo, decir $\vec v(\vec x)$. El desplazamiento real en $\vec x$ podría ser escrito como $\vec v(\vec x) dr$. Ahora, la densidad de la Energía liberada por este desplazamiento es $dE = P^j_iv^i_{;j}\ dr$, o, si se toman en $\vec v(\vec x)$ de la velocidad, $P^j_iv^i_{;j}$ será simplemente la densidad de potencia. El punto y coma indica la derivada covariante. Usted puede calcular tomando local coordiantes de tal manera que al $\vec x$ la métrica la métrica Euclidiana y todos los derivados de la métrica son cero. En tales coordenadas locales, $P^j_iv^i_{;j} = {\rm tr}({\bf PJ}_{\vec v})$, ${\bf J}_{\vec v}$ la matriz de Jacobi $\vec v$.

Edit: Lo que estoy diciendo es que usted no puede utilizar formas diferenciales solos. Son especiales los tensores, pero se necesita más general de los tensores. El tensor de tensiones es un vector con valores de 1-forma (que, en 3 dimensiones, es equivalente a un vector con valores de 2-forma, por Hodge dualidad, que le da un poco más de peso a la superficie de la interpretación formulada anteriormente). Un vector contravariante 1-tensor, una 1-forma es una covariante 1-tensor. El uso de la métrica, se puede transformar uno en el otro, así que usted puede incluso escribir el tensor de tensiones como una 1-forma con valores de 1-formulario (o $(n-1)$-forma, en $n$ dimensiones), pero que no parece muy físico para mí.

Answer 2

He encontrado un documento apoyando a mi comentario de que $P$ es una 1-forma con valores de 2-forma, que la superficie de la fuerza f es también una 1-forma con valores de 2-forma y la densidad de potencia es la 2-forma que resulta de la contratación de f con la superficie de la velocidad. El papel es

R. Segev y L. Falach. Velocidades, tensiones y vector paquete valorado cadenas. J. Elast. 105:187-206, 2011.