Estoy tratando de resolver el siguiente problema:
Deje $\Omega$ ser un delimitada suave de dominio en $\mathbb{R}^n, \ n\geq 2$. Deje $u\in C^2(\overline{\Omega})$ ser una solución de $$\left\{\begin{array}{ll}u_t-\Delta u=f(x)& \text{in } \Omega\times(0,\infty)\\ u=0&\text{on }\partial \Omega\times (0,\infty) \\ u=g(x) & \text{on } \Omega\times\{0\}\end{array}\right.$$ Mostrar que $$\max_{0\leq t\leq T} \int_\Omega u^2(x,t)dx+\int_0^T\int_\Omega|\nabla u(x,t)|^2dx\, dt\leq C\left(\int_\Omega g^2(x)dx+\int_0^T|f(x)|^2 dx\,dt\right)$$ para algunas constantes $C$ independiente de $f,\ g$ e $u$.
Mi intento:
Multiplicando la primera ecuación por $u$ y tomando la integración en $\Omega$, tenemos $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}||u||^2_{L^2}+\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla u=\int_\Omega fu.$$ (Aquí también usamos el Verde de la identidad y la condición de contorno de $u$)
Tomando la integración en $[0,s]$ donde $s\leq T$. Entonces tenemos $$\frac{1}{2}||u(x,s)||^2_{L^2}+\int_0^s\int_\Omega|\nabla u(x,t)|^2dx\, dt= \frac{1}{2} \int_\Omega g^2(x)dx+\int_0^s\int_\Omega fu\ dt$$ donde $$\int_\Omega fu\leq ||f||_{L^2} ||u||_{L^2}\leq \epsilon ||u||_{L^2}^2 + C(\epsilon ) ||f||_{L^2}$$
Entonces tenemos $$(\frac{1}{2}-s\epsilon )||u(x,s)||^2_{L^2}+\int_0^s\int_\Omega|\nabla u(x,t)|^2dx\, dt \leq \frac{1}{2} \int_\Omega g^2(x)dx+\int_0^s C(\epsilon ) ||f||_{L^2} dt$$
Entonces me quedé aquí. No sé de donde puedo derivar la parte $$\max_{0\leq t\leq T}||u(x,t)||.$$ También, estoy luchando cómo hacer que los dos coeficientes antes de que los dos términos a la izquierda de la misma manera que podamos obtener la deseada desigualdad.
