Encontrar todas las matrices que cumplan $M^2-3M+3I = 0$

Question

Estoy tratando de encontrar todas las matrices que resolver la ecuación de matriz

$$M^2 -3M +3I=0$$

Ya que este no es el factor traté de ampliar esto en términos de las coordenadas de la matriz. También se me ocurre para ponerlo en el "vértice" de la forma:

$$M^2 - 3M + \frac{9}{4}I+\frac{3}{4}I=0$$

$$(M-\frac{3}{2}I)^2 = -\frac{3}{4}I$$

pero esto no se parece mucho mejor.

Lo que he encontrado de la expansión por las coordenadas, si $M=\pmatrix{a & b \\ c & d}$ luego

$$\pmatrix{a^2+bc -3a + 3& ab + bd - 3b \\ ac+cd-3c & bc+d^2-3d+3} = \pmatrix{0&0\\0&0}$$

A partir de las entradas fuera de la diagonal puedo conseguir que sea

$$a+d-3=0$$

o

$$b=c=0$$

Si $a+d-3\not=0$ entonces $a^2-3a+3=0$ , y, asimismo, para $d$. Entonces tenemos más casos de $a$ e $d$.

Si $a+d-3=0$ la parte superior izquierda es igual, y el inferior derecho es

$$bc + (3-a)^2-3(3-a)+3 = 0$$

que se simplifica a la misma cosa desde la esquina superior izquierda y así es redundante. En las diagonales

$$ac+c(a-3)-3c = 0 \Rightarrow $$ $$2ac-6c = 0$$

Volvemos a obtener de los casos, y supongo que después de perseguir a los casos suficiente obtener el conjunto solución.

Sin embargo, sólo se siente como esta no puede ser la intención de solución teniendo en cuenta lo tedioso y poco informativo a todos los de este caso de persecución. Hay algunos más grandes idea de que me estoy perdiendo?

Answer 1

Ya encontró la "finalización de la plaza" $$ \left( {M - {3 \over 2}I} \right)^{\,2} = - {3 \más de 4}I $$

A continuación, puede escribir $$ \left( {i{2 \over {\sqrt 3 }}\left( {M - {3 \over 2}} \right)} \right)^{\,2} = X^{\,2} = I $$

Así que esencialmente estamos buscando la raíz cuadrada de la unidad de la matriz, también complejo, o por la raíz cuadrada de $- \, I$.

Usted puede encontrar varios tipos de papeles que se ocupan de este tema, por ejemplo este post relacionados o esta tesis.

- p.s. --
Pensé que estaba interesado en el caso general de los $n \times n$ matrices.
Si su pregunta se limita a $2 \times 2$ entonces el $\sqrt{\pm I}$ es fácil de encontrar en la red (por ejemplo,ver la pista en las matrices de Pauli).

Answer 2

Mínimo polinomio de $M, m_M(x),$ es un factor de $x^2-3x+3=[x-(\frac{3+i\sqrt3}2)][x-(\frac{3-i\sqrt3}2)]$

Cualquiera de las $m_M(x)=x-(\frac{3+i\sqrt3}2)\implies M=[\frac{3+i\sqrt3}2]$

o $m_M(x)=x-(\frac{3-i\sqrt3}2)\implies M=[\frac{3-i\sqrt3}2]$

o $m_M(x)=x^2-3x+3\implies$ los autovalores de a$M$ se $\frac{3\pm i\sqrt3}2$

En caso de $2\times2$ matrices, producto de los autovalores $=\det(M)=3$, la suma de los autovalores $=\text{Tr}(M)=3$

Tenemos $M=\begin{bmatrix}a&b\\c&3-a\end{bmatrix}$ e $3a-a^2-bc=3; a,b,c\in\Bbb C$.

Usted podría ir para $3\times3,4\times4,...$ matrices mediante la definición de los mismos autovalores y condiciones. En caso de que usted está buscando real de las matrices, que acaba de tener el real subconjunto de estas matrices.

Answer 3

$m^2 - 3m + 3 = 0\\ \lambda = \frac {3}{2} \pm i\frac {\sqrt {3}}{2}$

Se podría decir que es todas las matrices con valores propios iguales a $\frac {3}{2} + i\frac {\sqrt {3}}{2},\frac {3}{2} - i\frac {\sqrt {3}}{2}$

Si restringimos nuestro universo real $2\times 2$ matrices.

Sería, entonces, todas las matrices con la característica de ecuaciones igual a:

$\lambda^2 - 3\lambda + 3 = 0$

Estamos buscando las matrices con traza igual a 3, y determinante 3.

$\begin{bmatrix} a & b\\ -\frac {a^2 -3a + 3}{b} & 3-a \end {bmatrix}$

Answer 4

sugerencia

De Cayley-Hamilton,

Si la caracteristica polynom es <span class="math-container">$$x^2-3x+3$ $</span>

entonces

<span class="math-container">$$M^2-3M+3I=0$$</span>

entonces

<span class="math-container">$$(a-x)(d-x)-bc=x^2-3x+3$$</span>