En general, la intersección de subgrupos / subgrupos / subcampos / espacios sub (vector) seguirá siendo subgrupos / subalternas / subcampos / espacios sub (vector). Sin embargo, el sindicato (en general) no será.
¿Hay una razón "profunda" para esto?
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Yo no lo llamaría "profunda", pero he aquí un razonamiento intuitivo.
Las intersecciones de elementos que provienen de ambos conjuntos, por lo que tienen las propiedades de ambos conjuntos. Si, para cada uno de los componentes de los conjuntos, hay algún elemento(s) garantiza que existe dentro de ese conjunto, entonces el elemento(s) que necesariamente debe existir en la intersección. Por ejemplo, si $A$ e $B$ está cerrado bajo la suma, entonces cualquier par de elementos de a$x,y\in A\cap B$ está en cada uno de $A$ e $B$, por lo que la suma de $x+y$ debe ser en cada una de $A$ e $B$, y por lo $x+y\in A\cap B$. Esta línea de razonamiento se sostiene, fundamentalmente, para cualquier "estructura" de la propiedad por ahí, simplemente por el hecho de que todos los elementos que provienen de una colección de conjuntos que, simultáneamente, tienen esa propiedad.
Los sindicatos, por otro lado, tiene algunos elementos de sólo uno o el otro. En un sentido, estos elementos sólo tienen una pieza del rompecabezas, es decir, que sólo tienen las propiedades de un conjunto en lugar de ambos. Incluso si la declaración de esas propiedades es el mismo, como "cierre", la mecánica real de esas propiedades es diferente de un set a otro, y pueden no ser compatibles. Dado $x\in A$ e $y\in B$, tenemos $x,y\in A\cup B$, pero no hay ninguna razón para creer que $x+y \in A\cup B$. A veces simplemente no es cierto, como $\Bbb{N}\cup i\Bbb{N}$, donde $i\Bbb{N} = \{ z \in \Bbb{C} \ | \ z = in \text{ for some } n\in\Bbb{N} \}$. En este caso, el cierre bajo, además de que está garantizado para cada uno de los componentes de conjuntos no es compatible con el uno al otro, por lo que obtener sumas como $1+i$ que no está en el conjunto. Por otro lado, a veces tienes establece compatible con la estructura, tales como $\Bbb{N}\cup -\Bbb{N}$ (considerando $0\in\Bbb{N}$), donde la suma de los elementos de esta unión todavía se encuentra en la unión.
John Fouhy
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Estructuras algebraicas se definen normalmente por universal declaraciones. Por ejemplo, un grupo es una estructura $(G,\cdot,^{-1},e)$, donde $\cdot$ es una función binaria, $^{-1}$ es una única función, y $e$ es un nullary función que cumplen los siguientes axiomas:
- $\forall x,y,z \; (x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)$.
- $\forall x \; x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e$.
- $\forall x \; x \cdot e = e \cdot x = x$.
Universal de los axiomas se conservan bajo intersección, pero no en virtud de la unión.
Don MacAskill
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Ya que nadie ha explicado esto a partir de una perspectiva categórica sin embargo, voy a tratar de ofrecer otro punto de vista. Cada uno de los tipos de objetos que usted menciona (grupos, anillos, campos, espacios vectoriales) forman una concreta categoría. Es decir, cada grupo, anillo, un campo o un espacio vectorial es un conjunto equipado con los datos de extra estructura, y la homomorphisms entre ellos se establecen los mapas que preservar ese extra de la estructura.
De otra manera podríamos decir que el anterior, es que la si $\mathcal{C}$ es la categoría de cualquiera de las anteriores algebraica de los objetos y sus morfismos, tenemos un olvidadizo functor \begin{align*} U : \mathcal{C}&\to\mathsf{Set}\\ A&\mapsto UA, \end{align*} que envía cada estructura algebraica $A$ a su conjunto subyacente $UA$ y cada homomorphism de estructuras algebraicas $f : A\to B$ a la función subyacente en $Uf : UA\to UB.$
En cada una de estas situaciones (bueno, excepto cuando se $\mathcal{C}$ es la categoría de los campos), el olvidadizo functor tiene un adjunto a la izquierda - el libre objeto functor. De forma explícita, esto significa que si estás con un grupo, anillo, o espacio vectorial (en general módulo) $A$ y un conjunto $S,$ entonces existe un natural bijection $$ \{\textrm{homomorphisms de estructuras algebraicas }f : F(S)\\}\cong\{\textrm{mapas de conjuntos }g : S\a UA\}, $$ donde $F(S)$ denota el libre [grupo, anillo, espacio vectorial, módulo...] en $S.$ Esto es, esencialmente, la definición de un libre objeto: dar un homomorphism de la libre grupo, anillo, o espacio vectorial $F(S)$ sobre un conjunto $S$ a otro grupo, anillo, o espacio vectorial $A,$ usted necesita dar un mapa de conjuntos de $S\to UA.$ Pensar de $S$ como el conjunto de generadores de $F(S),$ y la "libertad" significa que no hay relaciones entre los generadores de los otros que las relaciones forzadas por los axiomas de la estructura algebraica.
Por ejemplo, el libre espacio vectorial sobre un conjunto $S$ puede ser descrito como el espacio vectorial $F(S)$ con base $\{e_s\mid s\in S\}$ indexados por los elementos de a$s.$ A dar un mapa de $F(S)$ a cualquier otro espacio vectorial $V,$ usted sólo tiene que especificar donde la base de los elementos de $e_s$ son enviados, y esto es completamente determinada por un conjunto de mapa de $S\to UV$ (de nuevo, $UV$ es el conjunto subyacente del espacio vectorial $V$).
Como otro ejemplo, la libre conmutativa anillo en un conjunto $S$ es el anillo de $\Bbb Z[x_s\mid s\in S]$ - el polinomio anillo de más de $\Bbb Z$ con una variable para cada elemento de a$s.$
Ahora que me he puesto con esto, el punto es que las intersecciones son los límites en la categoría de conjuntos, y que olvidadizo functors (o, más en general, a la derecha adjoints) juega muy bien con los límites. En particular, si $S$ e $T$ son subconjuntos de un conjunto $X,$ entonces podemos considerar el diagrama de
$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} Y @>>> S\\ @VVV @VVV \\ T @>>> X, \end{CD} $$ donde $Y$ es que algunos no especificado establecer junto con los mapas tal que el diagrama de desplazamientos. La intersección $S\cap T$ tiene la propiedad de que cualquier conjunto de $Y$ con mapas a $S$ e $T$ como en el diagrama del factor de forma exclusiva a través de un mapa de $Y\to S\cap T.$ Este es el comunicado que $S\cap T$ es el límite en el diagrama anterior (sin el $Y$).
Por abstracto tonterías argumentos, derecho adjoints (como el olvidadizo functor en estos casos) preservar los límites. (A veces también tener aún mejores resultados, pero no me dejes entrar en demasiado profundo.) La preservación de los límites significa que si tenemos un límite de álgebras de $\varprojlim A_i$ más de algunos diagrama, entonces el conjunto subyacente de que el límite es canónicamente isomorfo al límite de $\varprojlim UA_i$ (en la categoría de conjuntos) de la base de conjuntos de las álgebras.
Por lo tanto, si usted tiene subalgebras $A_1,A_2$ de un álgebra $A,$ y consideran el límite de $B$ de estas inclusiones, como hicimos para los conjuntos: $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} B @>>> A_1\\ @VVV @VVV \\ A_2 @>>> A, \end{CD} $$
a continuación, el conjunto subyacente de que el límite de $B$ es el límite de la base de conjuntos de $U A_1$ e $UA_2,$ que es simplemente la intersección $UA_1\cap UA_2.$
La otra frase de remate es que la unión de dos conjuntos a$S$ e $T$ (que son subconjuntos de algunas ambiente establezca $X$) es el colimit de un diagrama apropiado. Sin embargo, si $S$ e $T$ son los conjuntos subyacentes de algunos objetos algebraicos $S = UA_1,$ $T = UA_2,$ el olvidadizo functor no conserva colimits (incluso si $X$ es el conjunto subyacente de algunos de los grandes álgebra $X = UA$). Así que, a menos que, sorprendentemente, la suerte, el más pequeño de álgebra que contiene dos álgebras $A_1$ e $A_2$ (que es un colimit) no será la misma como el conjunto más pequeño que contiene a$UA_1$ e $UA_2.$
Muchos otros han expresado ya que esto también está relacionado con el hecho de que los productos y las intersecciones conmutar pero el mismo no es cierto de los productos y de los sindicatos: este es también un categórico hecho! Los productos y las intersecciones son ambos ejemplos de límites, pero los sindicatos son colimits. Límites conmuta con límites, pero los límites no necesariamente conmuta con colimits, a menos que ciertas condiciones agradables mantenga.
Con todo, el fracaso de la existencia de una estructura algebraica en un sindicato es una combinación de un número de categórico de los hechos, que son mucho más general que las situaciones específicas que usted menciona. A la vez que comprueban que el olvidadizo functors describen las propiedades que me reclama esencialmente hacia abajo para hacer que los argumentos como en las otras respuestas, me quedo con esta perspectiva porque la toma de "uniones" o "intersecciones" de alguna manera es antinatural cosa a hacer cuando tienes cosas que no son conjuntos - desea combinar su algebraica de los objetos en formas que resultan en los objetos con la misma estructura algebraica (por ejemplo, a través de tomar límites y colimits o el uso de otros categórica construcciones). El hecho de que el conjunto subyacente de un límite coincide con los límites de la base de conjuntos es un resultado de niza propiedades que el olvidadizo functor en cuestión.
Nota: me dijo que no tuvo en cuenta los campos de arriba, y que es debido a que la categoría de los campos es particularmente mal comportamiento, porque los campos son bastante restrictivas.
efalcao
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3332
Deje $X$ ser un conjunto, y deje $Y$ e $Z$ ser subconjuntos de a$X$. Deje $f: X^2 \to X$ ser una función binaria, y se supone que las restricciones de $f$ a $Y$ e $Z$ son también funciones (es decir, $f|_{Y^2} \subseteq Y$ e $f|{Z^2} \subseteq Z$).
Es el caso de que $f|_{(Y \cap Z)^2} \subseteq Y \cap Z$? Sí, es: si $a, b \in Y \cap Z$ entonces $f(a, b) \in Y$ porque $f|_{Y^2} \subseteq Y$ e $f(a, b) \in Z$ porque $f|_{Z^2} \subseteq Z$, lo $f(a, b) \in Y \cap Z$.
Es el caso de que $f|_{(Y \cup Z)^2} \subseteq Y \cup Z$? No necesariamente: si $a \in Y$ e $b \in Z$ entonces sabemos nada acerca de la $f(a, b)$.
(Casi?) cualquier estructura que podríamos llamar "algebraica" tiene algo de función binaria (la multiplicación del grupo, espacio vectorial adición, etc) que se ejecuta en este problema.
lowglider
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562
El hecho de que la intersección de los subgrupos son en sí mismos subgrupos, las intersecciones de subrings son subrings, etc., es de hecho un ejemplo de una más general de la propiedad:
Llame a un conjunto de $X$ "cerrado bajo $f$", donde $f$ es una función con $n$ argumentos, si el dominio de $f$ incluye $X^n$ e si $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in X$ para todos los $(x_1, x_2, \dots, x_n) \in X^n$.
Teorema: Si $X$ e $Y$ son cerradas bajo $f$, a continuación, $Z = X \cap Y$ es cerrado bajo $f$.
Prueba. Desde $X$ es cerrado bajo $f$, $Z^n \subset X^n$ es parte del dominio de $f$. Además, dado que todos los $n$-tupla $(z_1, z_2, \dots, z_n) \in Z^n$ es en tanto $X^n$ e $Y^n$, y tanto $X$ e $Y$ son cerrados bajo $f$, se deduce que el $f(z_1, z_2, \dots, z_n)$ pertenece a los dos $X$ e $Y$, y, por tanto, su intersección $Z$. $\square$
Por ejemplo, supongamos $(G, +, 0)$ ser un grupo con el grupo de operación $+$ y el elemento cero $0$. Considerar las funciones $f_+: G^2 \to G$ e $f_0: G^0 \to G$ definido por $f_+(a, b) = a + b$ e $f_0(\varepsilon) = 0$ (donde $\varepsilon$ indica el cero-elemento de la tupla, el único elemento de $G^0 = \{\varepsilon\}$). Claramente, los subgrupos de $(G, +, 0)$ son exactamente los subconjuntos de a$G$ que son cerrados bajo tanto $f_+$ e $f_0$. Por lo tanto, si $X$ e $Y$ son subgrupos de $(G, +, 0)$, e $Z = X \cap Y$ es su intersección, $Z$ también debe ser cerrada en ambos $f_+$ e $f_0$, y por lo tanto también un subgrupo.
Más en general, en cualquier momento podemos definir un "subcosita" de una "cosita" $(T, \dots)$ como un subconjunto de a$T$ que es cerrado bajo una o más de las funciones de $f: T^n \to T$, automáticamente se desprende de esta definición que la intersección de dos subthingies de la misma cosita debe ser en sí mismo una subcosita. Dado que la mayoría de las definiciones de las subestructuras de una expresión algebraica de la estructura son de hecho, naturalmente, de esta forma, no tienen esta propiedad.
Por otro lado, para que los sindicatos de subestructuras tenemos ningún equivalente del teorema anterior, y por lo tanto la unión de $W = X \cup Y$ dos subthingies $X$ e $Y$ de una cosita $(T, \dots)$ normalmente no es un subcosita.
Probablemente lo más cercano que podemos decir, una especie de trivial, es que el cierre de la $\bar W$ de $W$ (es decir, el único más pequeño subconjunto de $T$ que incluye a $W$ y es cerrado bajo todas las funciones pertinentes, si existe uno) será un subcosita de $T$. Lo cual, por supuesto, es verdad, por definición, para todos los $W \in T$, no sólo a aquellos que surgen como una unión de dos (o más) subthingies.
Por ejemplo, la unión de dos subespacios de un espacio vectorial es no generalmente un subespacio, porque la suma de dos vectores de diferentes subespacios puede producir un vector que pertenece a ninguno de los originales de los subespacios. Pero el lapso de la unión de hecho es un subespacio — como es el lapso de cualquier subconjunto arbitrario de la totalidad de espacio vectorial.
