Inexistencia de modelos Prime.

Question

Deje $L$ ser una contables idioma. Deje $T$ una total $L$ teoría. Sabemos que si $T$ es pequeño, entonces no es un buen modelo de la teoría. Pero $\text{Th}(\mathbb{N},+,\times,0,1)$ no es pequeña, pero tiene un primer modelo.

Tan lejos como soy consciente de que no es condición necesaria y suficiente para la existencia de modelos de primer. Pero me gustaría ver cómo mostrar ciertas teorías no tienen prime modelos. Por ejemplo, ¿cómo se demuestra que cualquier ampliación consecuente de ZFC no tiene un primer modelo? (Tengo la fuerte sospecha de que es el caso).

Edit 1: Para aclarar: me estoy preguntando si existe un "estándar" de un argumento que puede probar cuando se sospecha que una teoría no tiene un primer modelo.

Answer 1

No es una simple condición necesaria y suficiente para la existencia de un primer modelo: "tipos aislados son densos". Si $T$ es una teoría completa en una contables idioma, entonces

1. Si $M\models T$, $M$ es primo si y sólo si $M$ es contable y atómica (lo que significa que $M$ da cuenta de que sólo tipos aislados sobre el conjunto vacío).
2. $T$ tiene una contables modelo atómico si y sólo si los tipos aislados son densos (lo que significa que para cada fórmula $\varphi(\overline{x})$, no es un hecho aislado tipo $p(\overline{x})$ $S^n(\varnothing)$ tal que $\varphi\in p$).

Estos hechos deben ser probados en todos los modelos de la teoría de los libros de texto son Teoremas 4.2.8 y 4.2.10 en el Marcador, por ejemplo. La situación es más sutil si $L$ es incontable (en gran parte porque es más difícil de omitir los tipos), y sospecho que no hay una satisfacción general de criterio para la existencia de modelos de primer en ese contexto.

Uno de los más comentario: Para demostrar que $T$ sí no tiene un primer modelo, usted necesita para llegar a una fórmula $\varphi(\overline{x})$ que no está contenida en ningún aislado tipo. Esto significa $[\varphi(\overline{x})]$ es un set perfecto en la Piedra espacio, por lo que debe haber continuidad de muchos tipos que contengan $\varphi(\overline{x})$. Esta es la razón por la pequeña teorías primeros modelos.

Answer 2

Me dirijo a la parte de la pregunta que se pregunta "¿cómo podría usted demostrar que cualquier ampliación consecuente de ZFC no tiene un primer modelo?" De hecho, (asumiendo, por supuesto, que ZF es consistente), algunos consistente extensiones de ZFC hacer primeros modelos.

Deje $M$ ser un modelo de ZFC en el que cada elemento es definible. ("Pointwise definible" los modelos de la teoría de conjuntos fueron objeto de esta pregunta.) A continuación, $T=\operatorname{Th}(M)$ es una constante extensión de ZFC, y $M$ es un primer modelo de $T.$

P. S. Para la existencia de pointwise definibles modelos de ZFC, véanse las respuestas a esta pregunta, o consulte el papel de J. D. Hamkins, D. Linetsky, y J. Reitz, Pointwise definibles modelos de la teoría de conjuntos, Revista de la Lógica Simbólica 78(1), pp 139-156 de 2013.