Es la igualdad inherentemente definido?

Question

Recientemente me sacó de mi edad Real, Análisis de libros de texto y di cuenta de algo que no se destacan cuando yo estaba tomando la clase de todos esos años atrás. Cuando el libro es una lista de los axiomas que parece asumir entendemos lo que la igualdad es.

Considerar el primer axioma $(A)$, el cual se define commutivity sobre la suma y la multiplicación. Que los estados

$x+y=y+x, \forall x,y \in \mathbb{R}$

y similiarly para la multiplicación. Entiendo que estamos en proceso de definir cómo se $+$ opera en $\mathbb{R}$ aquí, pero nunca hemos definido lo $=$ medios. La igualdad parece un concepto fundamental, pero nunca he visto que se define en cualquier lugar.

Es la igualdad inherentemente definido o un entendido el concepto, o tiene una definición más formal?

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Se comentó que el $x+y$ no es el mismo como $y+x$, sino que para el caso anterior, podrían ser considerados iguales si a evaluar para el mismo número real. Mi pregunta tiene que ver con el sentido general, aunque. Parece que este axioma es la definición de una propiedad de $+$ decir que estos dos términos pueden ser tratados de la misma, una idea que se podría aplicar en otras situaciones fuera de el ejemplo de la $+$ operación $\mathbb{R}$.

Answer 1

Tienes razón -- las propiedades formales de igualdad deben ser definidos en algún lugar.

Las propiedades que necesitamos son la pura igualdad axiomas: $$ x=x \qquad x=y\Rightarrow y=x \qquad x=y\land y=z\Rightarrow x=z, $$ además de la propiedad crucial que nos permite sustituir es igual para los iguales en una expresión y no cambiar el significado: $$ x=y \Rightarrow f(x)=f(y) $$

La última propiedad es un poco difícil de expresar formalmente debido a que aún no contamos con la maquinaria para hablar de funciones arbitrarias (y en el desarrollo de esta maquinaria en general depende de la igualdad de trabajo ya). Así que lo que uno hace, en cambio, es tener toda una serie de axiomas para cada primitiva operación en nuestra teoría: $$ x=y \Rightarrow x+z=y+z \qquad x=y \Rightarrow z+x=z+y \\ x=y \Rightarrow x\times z=y\times z \qquad x=y \Rightarrow z\times x=z\times y \\ x=y \Rightarrow x = -y \\ x=y \Rightarrow (x<z \Leftrightarrow y<z) \qquad x=y \Rightarrow (z<x \Leftrightarrow z<y) $$ y así sucesivamente. Y cada vez que se agrega un nuevo operador de relación o símbolo de este tipo de igualdad normas también deben ser añadido.

Debido a esto, añadir nuevos igualdad de los axiomas de cada símbolo es completamente mecánico, generalmente es más conveniente en la lógica formal para considerar que una parte de las reglas de la lógica , en lugar de una parte de la teoría que estamos construyendo en la cima de la lógica, de modo que no tienen que ser declarado cada vez que un nuevo símbolo es introducido.

Esta es probablemente la razón por la que el autor de su texto, no creo que sea necesario señalar de forma explícita, aunque si se le pide, es probable que se dijo no asumiendo ningún tipo de familiaridad con la lógica formal.

Answer 2

Dos conjuntos son iguales si son iguales, es decir, contiene los mismos elementos.

Así, en su contexto, $x+y=y+x$ todos los $x,y \in \mathbb R$ significa que los dos conjuntos de $x+y$ $x+y$ son los mismos. De hecho, hay muchas maneras de definir a los reales. Al menos Dedekind cortes, o a través de secuencias de Cauchy. En todos los casos, la real es un conjunto (generalmente un subconjunto de los racionales)

Así que para demostrar que $x+y=y+x$ tendrás que demostrar que ambos conjuntos (es decir, los subconjuntos de los racionales) son iguales.

Answer 3

Su ejemplo se utiliza la igualdad de los valores obtenidos a partir de la realización de las operaciones. Si no usamos la notación de infijo se podría leer $$ +(x,y) = +(y,x) \quad (x,y \in \mathbb{R}) $$ Se considera como una función, podemos decir que la suma es simétrica.

El artículo de la Wikipedia sobre la Igualdad se da un montón de contextos y sus particulares puntos de vista sobre la igualdad, incluyendo una lógica formalización por Lévy.

También me gustaría señalar Comparaciones de Igualdad y Similitud que muestran lo que surgen problemas prácticos para la orientada a objetos es parte del lenguaje JavaScript. Porque para una máquina de cada bit debe explicarse y esto tiene consecuencias.

• Tenemos una estricta igualdad "===" el cual (dicho grosso modo), insiste en que tipo de igualdad y la igualdad de valores.
• suelta la igualdad "==", que necesita mismos valores (después de la posible conversión de un tipo a un tipo común).
• el mismo valor de la igualdad, que es "funcional" igualdad", usted puede cambiar de tales objetos iguales y que debe resultar en el mismo programa de comportamiento si son considerado como tal igualdad (de sustitución de Liskov)

A continuación, se esconde la cuestión de la comparación de dos objetos que pasan a tener los mismos valores, pero son dos entidades diferentes en la memoria vs teniendo el mismo objeto dado a ambos lados de una comparación de igualdad (de identidad).

Esto se relaciona con pato escritura, donde se considera a los objetos que responden a los mismos mensajes (o llamadas a métodos) de la misma como la igualdad para su uso.

Answer 4

• En general, todo lo que usted necesita para $=$ (como Henning Makholm detalles) es (1) que es una relación de equivalencia, y (2) que cada función y la relación se compromete con la igualdad.

• Sin embargo, usted también puede asumir (como en el modelo de la teoría) que cualquier lista de axiomas son declaraciones acerca de algún juego, o modelo de los axiomas. En este caso, $=$ automáticamente significa la igualdad en ese conjunto--elementos distintos del conjunto son nonequal.

• Esto plantea la pregunta: si asumimos que todo es un conjunto, y $=$ es la igualdad de conjuntos, entonces ¿cómo es $=$ definido en la teoría de conjuntos? Como resultado, usted no necesita del estado de axiomas para $=$ por separado, usted puede definir explícitamente que $X = Y$ cuando es el caso que $$ (\forall \en X: \Y) \de la tierra (\forall \en Y : \X). $$ Puede ser, por ejemplo, en ZFC) que en virtud de esta definición $=$ satisface las propiedades necesarias de (1) ser una relación de equivalencia y (2) ser capaz de sustituir es igual para los iguales.