Verificación de la declaración de secuencias exactas

Question

Estoy tratando de leer a través de Atiyah y MacDonald Introducción al álgebra conmutativa .

La proposición 2.9 dice que una secuencia de $A$ -y homomorfismos $$ M'\stackrel{u}{\to} M\stackrel{v}{\to} M''\to 0 $$ es exacta si para todo $A$ -módulos $N$ la secuencia

$$ 0\to\operatorname{Hom}(M'',N)\stackrel{\bar{v}}{\to}\operatorname{Hom}(M,N)\stackrel{\bar{u}}{\to}\operatorname{Hom}(M',N) $$ es exacta. Aquí $\bar{u}(f)=f\circ u$ para $f\colon M\to N$ y lo mismo para $\bar{v}$ .

Puedo probar la mayor parte de esto, pero la única cosa que estoy atascado mostrando $\ker{\bar{u}}\subseteq\text{Im}(\bar{v})$ . Tomo $f\colon M\to N$ y supongamos $\bar{u}(f)=f\circ u$ es el $0$ homomorfismo de $M'$ a $N$ . No sé cómo mostrar $f$ es a imagen de $\bar{v}$ . ¿A qué se debe? Gracias.

Answer 1

$f$ desaparece en $\operatorname{im} u = \ker v$ por lo que existe un (único) $f_*\colon M/\ker v \to N$ enviando $x + \ker v$ a $f(x)$ . Ahora, $v$ induce un isomorfismo $v_*\colon M/\ker v \to M''$ enviando $x + \ker v$ a $v(x)$ . Creo que $f_* \circ v_*^{-1}$ es un elemento de $\operatorname{Hom}(M'', N)$ que hace el trabajo.