polinomio mínimo de raíces del Polinomio irreducible

Question

Que $f\in \mathbb{Z}[x]$ irreducible $\mathbb{Q}[x]$, es el coeficiente de grado más alto de $f$ $1$. Que $\omega\in \mathbb{C}$ tal que $f(\omega)=0$. ¿Podemos obtener que el polinomio mínimo de $\omega$ $\mathbb{Q}$ $f$? ¿Por qué?

Answer 1

Que $g$ sea el polinomio mínimo de $\omega$. Entonces $f\in(g)$, es decir, $g\mid f$. Por irreductibilidad de $f$, $g$ y $f$ pueden diferir en a lo más un factor de unidad.

Answer 2

% Toque $\, $si un % ideal principal $\ne 1$contiene un elemento irreducible entonces ese elemento genera el ideal (más el generador sería un divisor apropiado de la irreductible).