Quiero saber si el plano de Cayley ha fijado punto propiedad o no. Creo que es asi pero no soy capaz de demostrarlo. Ciertamente no admite mapas del período dos sin puntos fijos. Por propiedad de punto fijo, o sea que cualquier continua mapa del uno mismo tiene un punto fijo.
Respuesta
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Cada mapa continuo de la $X =$ Cayley Avión a sí mismo tiene un punto fijo.
Para ver esto, vamos a $f:X\rightarrow X$ ser cualquier mapa continuo. Esto induce a una lineal mapa de $f_*:H_*(X,\mathbb{Q})\rightarrow H_*(X,\mathbb{Q})$. Recordemos que el Lefschetz punto fijo teorema dice que si esta traza es distinto de cero, entonces a $f$ tiene un punto fijo.
Por lo tanto, tenemos que calcular la traza de $f$ y el espectáculo es distinto de cero.
Mirando cohomology, tenemos $H^*(X,\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}[x]/x^3$ donde $x$ es un generador de $H^8(X,\mathbb{Q})$.
En el grado $0$, podemos ver que $f^*$ actúa como la multiplicación por $1$ (como siempre). En $H^8$, supongamos $f^*(x) = kx$ para algunos entero $k$. Desde $f^*$ es un anillo homomorphism, debemos tener $f^*(x^2) = f^*(x)^2 = k^2 x^2$.
El uso de connaturalidad de la dualidad de Poincaré, de ello se sigue que la traza de $f_*$$1+k+k^2 = 1+k(k+1)$. Desde cualquiera de las $k$ o $k+1$ es incluso, la traza es impar, por lo que no $0$.
