¿Es el conjunto de todos los números racionales con denominadores Impares un subring de $\Bbb Q$ ?

Question

¿Es el conjunto de todos los números racionales con denominadores Impares un subring de $\Bbb Q$ (Cuando la fracción se reduce completamente)

He tratado de aplicar la prueba del subring en esto, y esto significa que quiero demostrar que es cerrado bajo la resta y la multiplicación.

Para demostrar que es cerrado bajo la multiplicación, he hecho lo siguiente:

$$\frac{a}{2b+1}\frac{c}{2d+1},a,b,c,d\in\Bbb Z$$ $$=\frac{ac}{4bd+2b+2d+1}$$ Que sigue teniendo el denominador impar.

Con respecto a la sustracción tenemos:

$$\frac{a}{2b+1}-\frac{c}{2d+1}$$ $$=\frac{a(2d+1)-c(2b+1)}{(2b+1)(2d+1)}=\frac{a(2d+1)-c(2b+1)}{4bd+2b+2d+1}$$

y como el denominador es impar, aunque no se reduzca, se reducirá a otro denominador impar.

Así que parece que tenemos el cierre de estas dos operaciones. ¿Es esto suficiente?

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También si mostrara el conjunto de todos los números racionales con demoninador par, todo lo que necesitaría es $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{2}{2}=-1$ para conseguir un contra ejemplo correcto?

Answer 1

Sí. En realidad, es el anillo $\mathbf Z_{(2)}$ - la localización de $\mathbf Z$ en el ideal primario $(2)$ . Sólo tiene un ideal máximo, a saber $\,2\mathbf Z_{(2)}$ y su campo de residuos es isomórfico a $\mathbf Z/2\mathbf Z$ .

Answer 2

Su conjunto puede describirse como el conjunto $S$ de todos los números racionales $q\in\mathbb{Q}$ tal que $q=a/b$ para algunos enteros $a$ y $b$ , donde $b$ es impar.

De hecho, como usted observa, si $a/b$ no es la representación en términos mínimos, el denominador seguirá siendo impar cuando dividamos por el máximo común divisor con el numerador.

Así que tienes que demostrar

1. $0\in S$
2. si $q_1\in S$ y $q_2\in S$ entonces $q_1-q_2\in S$
3. si $q_1\in S$ y $q_2\in S$ entonces $q_1q_2\in S$
4. $1\in S$ (si su definición de subring requiere la identidad)

u otros conjuntos de declaraciones que implican $S$ es un subgrupo con respecto a la suma y un subsemigrupo (o submonoide) con respecto a la multiplicación.

Su prueba es básicamente correcta, pero es más fácil observar que si $b$ y $d$ son impar, entonces $bd$ también es impar. Por lo tanto, si $q_1=a/b$ y $q_2=c/d$ con $b$ y $d$ impar, entonces $$ q_1-q_2=\frac{ad-bc}{bd},\qquad q_1q_2=\frac{ac}{bd} $$ Por lo tanto, ambos $q_1-q_2$ y $q_1q_2$ admiten una representación como fracciones con denominador impar.

En cuanto a tu contraejemplo, tienes que demostrar que suponiendo $$ \frac{1}{2}=\frac{a}{b} $$ con impar $b$ lleva a una contradicción. Las operaciones son irrelevantes para esto. Es necesario producir un número racional que no esté en $S$ .

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Nota. Los estudiantes a veces se confunden con este subring, porque argumentan como $$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6} $$ así que $1/3\notin S$ . Esto es incorrecto: lo que se requiere es que un número racional puede escribirse al menos de una manera como cociente de un entero por un entero impar .

Answer 3

Sí, ya que $1$ es impar, y el producto de dos números Impares es impar. Esto se puede generalizar de varias maneras, por ejemplo, dado un número $n$ puedes considerar fracciones con denominadores $\equiv 1$ $\! \!\!\!\mod n$ . O puedes tomar denominadores que sean relativamente primos para $n$ . De hecho, obtendrá el mismo subring de $\mathbb{Q}$ . Obsérvese que en el primer caso se consideran no sólo las fracciones reducidas, sino posiblemente las no reducidas. Digamos que $n=6$ y tomamos $r = \frac{1}{5} = \frac{5}{25}$ .