Toda la función que es un polinomio.

Question

Me encontré con el siguiente ejercicio, mientras estudiaba el qual: Supongamos que $f$ es una función tal que $|f (z)| \geq 1$ siempre $|z|\geq 1$. Mostrar que $f$ es un polinomio.

No estoy seguro de cómo comenzar este ejercicio. Yo había pensado que tal vez con el hecho de que f no es idénticamente cero, debe tener un número finito de ceros en el disco unidad. A partir de ahí me estaba esperando para invertir f y dividir por ceros, así que tenía un almacén de toda la función g. Entonces yo quería invocar liouville. Pero yo no estoy tan seguro de estos pasos finales son buenos.

Answer 1

Sugerencia: la singularidad en$\infty$ es un polo. ¿Cómo es la serie de Laurent?

Answer 2

Aparentemente $f$ tiene a lo sumo un número finito de ceros, y todos en el abierto de la unidad de disco.

Decir $f(z)=g(z)p(z)$ donde $p(z)=(z-z_1)\cdots(z-z_n)$ es un polinomio con todas las raíces de $f$ y $g$ no de fuga, y por supuesto, $g$ también es todo, y así es $h=1/g$.

También, $|p(z)|\le c|z|^n$, para todos los $|z|\ge 1$, para algunas de las $c\ge 1$.

Ahora tenemos que $$1 \le |\,f(z)|=|g(z)||p(z)|\le c|g(z)|,$$ para $|z|\ge 1,$ y por lo tanto $$ c\ge \frac{1}{|g(z)|}=|h(z)|, \quad\text{si $|z|\ge 1$} $$ Por lo tanto $h$ es limitado y todo y, por tanto, constante, decir $h(z)=a$, donde$a\in\mathbb C$,$|a|\le c$, y por último $$ f(z)=\frac{p(z)}{un}. $$