Automorphism del gráfico

Question

Deje $G$ ser conectado a un vértice transitiva gráfico y $G_v$ denotar estabilizador del vértice $v$. Si $h$ es cualquier automorphism de $G$ que $d(v,h(v))=1$, e $G$ es simétrica,el $h$ $G_v$ generar $\operatorname{Aut}(G)$.

Decimos que $G$ es simétrica si ,para todos los vértices $u,v,x,y$ $G$ tal que $u$ $v$ adyacente, y $x$ $y$ son adyacentes hay un automorphism $g$ $\operatorname{Aut}(G)$ que $g(u)=x$ $g(v)=y$

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Yo creo que deberíamos usar este hecho: Vamos a $G$ grupo actúa transitivamente sobre el conjunto de $X$, $H$ ser un subgrupo de $G$ $G_a$ estabilizador de G, a continuación, $G=HG_a$ si y sólo si H es transitiva.

Por favor, que me aconsejan.

Answer 1

Yo no estaba seguro de lo que un simétrica de la gráfica fue, pero de acuerdo a la Wikipedia, que significa lo mismo que arco-transitiva. Por lo $G_v$ es transitiva en el conjunto de vértices adyacentes a $v$. Deje $X = \langle G_v, h \rangle$ y deje $H$ ser la órbita de $X$. Entonces, desde el $H$ contiene $h(v)$, e $v$ $h(v)$ son adyacentes, por lo $H$ contiene todos los vértices adyacentes a $v$. También, desde el conjugado de a $G_v$ $x \in X$ es $G_{x(v)}$, $X$ contiene $G_w$ todos los $w \in H$ así que ahora, por un sencillo de inducción en $n$, $H$ contiene todos los vértices a distancia$n$$v$, y, por tanto, $H=G$ desde $G$ está conectado. Entonces, por el resultado que usted menciona, $X={\rm Aut}(G)$.

Ejercicio: encontrar un ejemplo en el que el resultado es falso si no asumimos que $G$ es simétrica.