¿Cómo calcular la varianza de$(X_1-X_2)^2$?

Question

$X_1$ y$X_2$ son una muestra aleatoria de$\mathrm{N}(\mu,\sigma^{2})$.

¿Cómo calcular la varianza de$(X_1-X_2)^2$?

Answer 1

Aquí está el esquema proporcionado por @MarkLStone.

En primer lugar, la distribución de $Z=(X_1-X_2)$$\mathrm{N}(0,2\sigma^{2})$.

Lado, sabemos que el cuadrado de la distribución normal con media cero y varianza la unidad sigue una distribución de la Chi cuadrado con un grado de libertad. En consecuencia:

$$ \frac{Z^{2}}{2\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(\nu=1) $$

Por lo tanto

$$ Z^{2}\sim 2\sigma^{2}\chi^{2}(\nu=1) $$

Edit: Gracias a @Glen, incluso hay una manera más rápida que la que se describe a continuación:

La varianza de la distribución Chi-squared es $2\nu$. Además, una propiedad básica de la varianza $\mathrm{Var}(kX)=k^{2}\mathrm{Var}(X)$. Así que con $k=2\sigma^{2}$ llegamos de inmediato a

$$ \mathrm{Var}(Z^{2})=\mathrm{Var}(2\sigma^{2}\chi^{2}_1))=4\sigma^{4}\mathrm{Var}(\chi^{2}_1))=4\sigma^{4}\cdot2=8\sigma^{4} $$

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Versión antigua

El siguiente paso es conocer la siguiente relación entre un Chi-cuadrado de distribución y la distribución gamma:

$$ \mathrm{Si}\: X\sim\chi^{2}(\nu)\;\mathrm{y}\;c>0, \;\mathrm{entonces}\; cX\sim\mathrm{Gamma}\left(k=\nu/2, \theta=2c\right) $$

Así tenemos en el pasado:

$$ Z^{2}\sim \mathrm{Gamma}\left(k=1/2, \theta=2\left(2\sigma^{2}\right)\right) $$

La varianza de una distribución gamma es $k\theta^{2}$. Así que terminamos con

$$ \mathrm{Var}(Z^{2})=\frac{1}{2}\cdot \left(4\sigma^{2}\right)^{2}=8\sigma^{4} $$

Answer 2

Indique \begin{eqnarray*} z &=&\left( X_{1}-X_{2}\right) ^{2} \\ &=&X_{1}^{2}-2X_{1}X_{2}+X_{2}^{2} \end {eqnarray *} Por lo tanto, $$ \ mathbb {E} \ left (z \ right) = 2 \ sigma ^ {2} $$ y \begin{eqnarray*} z^{2} &=&\left( X_{1}-X_{2}\right) ^{4} \\ &=&X_{1}^{4}-4X_{1}^{3}X_{2}+6X_{1}^{2}X_{2}^{2}-4X_{1}X_{2}^{3}+X_{2}^{4} \end {eqnarray *} ahora todo lo que necesita para recordar es que si $ X_ {1} \ sim \ mathcal {N} \ left (\ mu, \ sigma ^ {2} \ right) $ entonces $ \ mathbb {E} \ left (X_ {1} ^ {3 } \ right) = \ mu ^ {3} +3 \ mu \ sigma ^ {2} $ y $ \ mathbb {E} \ left (X_ {1} ^ {4} \ right) = \ mu ^ {4} +6 \ mu ^ {2} \ sigma ^ {2} +3 \ sigma ^ {4} $ de manera similar a$X_{2}$ por lo tanto \begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left( z^{2}\right) &=&2\left( \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}\right) -8\mu \left( \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}\right) +6\left( \mu ^{2}+\sigma ^{2}\right) ^{2} \\ &=&12\sigma ^{4} \end {eqnarray *}% \begin{eqnarray*} Var\left( z\right) &=&\mathbb{E}\left( z^{2}\right) -\left( \mathbb{E}% \left( z\right) \right) ^{2} \\ &=&12\sigma ^{4}-4\sigma ^{4} \\ &=&8\sigma ^{4} \end {eqnarray *}