La distribución de$\bf{x}$ dado un sistema indeterminado$A{\bf x}={\bf b}\sim N(0,\sigma^2 I)$

Question

Supongamos que tengo un sistema lineal $A{\bf x}={\bf b}$ tal que $\bf b$ es un vector de IID normal de las variables aleatorias y $A$ tiene dimensión $n\times p$$p > n$.

¿Qué se puede decir acerca de la distribución de $\bf x$? Debe provenir de una distribución normal multivariante?

Dado que el sistema es indeterminado, una posible solución es, ciertamente, $\bf x$ es normal multivariante, pero desde $A^TA$ es singular que no puede resolver explícitamente para $\bf x$ como la suma de la multivariante aleatoria normal de las variables.

Tenemos $$A\mathbb{E}{\bf x}=0$$ $$A\text{Var}({\bf x})A^T=\sigma^2I$$

y por lo tanto la media de $\bf x$ se encuentra en el núcleo de $A$. Además $\frac{1}{\sigma}A$ puede ser interpretado como el blanqueamiento de la matriz de $\bf x$, pero eso es todo lo que sé.

Answer 1

Considere un caso simple donde $A = \left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array} \right] $.

Vamos $\bf x_1$, $\bf x_2$, y $\bf b$ ser variables aleatorias. Sabemos de $A {\bf x} = {\bf b}$ que ${\bf x_1} + {\bf x_2} = {\bf b}$. También sabemos que $\bf b$ es una variable aleatoria normalmente distribuida.

• Debe $\bf x_1$ $\bf x_2$ será distribuido multivariante normal? No.
• Podría $\bf x_1$ $\bf x_2$ ser multivariable normal? Sí.

En contraste, si $\bf b$ es normal para cualquier 1 por la 2 de la matriz a, entonces el $\bf x_1$ $\bf x_2$ será distribuido normal multivariante (por definición). Más generalmente, si $A {\bf x} $ es normal para cualquier matriz $A$ , $\bf x$ es normal multivariante. Pero si $A$ es específica de la matriz, todas las apuestas están apagadas.

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Incluso más detalle: $${\bf x_1} = \left\{ \begin{array}{c} {\bf b} &\text {if } {\bf b} \leq 0 \\ 0 &\text{if } {\bf b} > 0\end{array} \right\} $$ $${\bf x_2} = \left\{ \begin{array}{c} 0 &\text {if } {\bf b} \leq 0 \\ {\bf b} &\text{if } {\bf b} > 0\end{array} \right\} $$

${\bf x_1} + {\bf x_2}$ se distribuye normalmente, pero ni $\bf x_1$ ni $\bf x_2$.