¿teorema de la bisectriz, regla del coseno u otro método?

Question

Un punto fijo $A(a,0)$ , donde $a>0$ y una línea recta $l$ se da $x = -1$ , $B$ es un punto móvil en el segundo cuadrante y se encuentra en la recta $l$ la bisectriz del ángulo de $\angle BOA$ se cruza con $AB$ en el punto $C$ .

(a) Encuentre el lugar geométrico del punto $C$ e indique los valores del rango de $x$ y $y$ .

(b) Discuta la relación entre los valores de $a$ y el tipo de la curva de la ecuación obtenida en (a).

He intentado utilizar la regla del coseno y el teorema de la bisectriz para obtener el lugar. pero la ecuación parece demasiado complicada. ¡Cualquier otro método bueno, por favor comparta conmigo!

Answer 1

Dejemos que $B=(-1,t)$ , $C=(x,y)$ .

Entonces $$\frac{y}{x-a}=\frac{t}{-1-a}$$

El ángulo AOB puede obtenerse para ser $$\cos AOB=\frac{-a}{a\sqrt{1+t^2}}=\frac{-1}{\sqrt{1+t^2}}$$

Utilizando $$\cos^2 AOC = \frac{1+\cos AOB}{2}$$ tenemos $$\frac{y^2}{x^2}=\tan^2 AOC = \sec^2 AOC - 1=\frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}-1=\frac{2\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}-1}-1=\frac{\sqrt{1+t^2}+1}{\sqrt{1+t^2}-1}=\frac{\left(\sqrt{1+t^2}+1\right)^2}{t^2}$$

$$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{1+t^2}+1}{t}$$

$$\left(t\frac{y}{x}-1\right)^2=1+t^2$$ $$\left(ty-x\right)^2=\left(1+t^2\right)x^2$$ $$\left(\frac{(1+a)y^2}{x-a}+x\right)^2=\left(1+\frac{(1+a)^2y^2}{(x-a)^2}\right)x^2$$ $$((1+a)y^2+x(x-a))^2=((x-a)^2+(1+a)^2y^2)x^2$$ $$(1+a)^2y^4+2(1+a)x(x-a)y^2=(1+a)^2x^2y^2$$ $$y^2+\frac{2}{1+a}x(x-a)-x^2=0$$ $$\left(\frac{2}{1+a}-1\right)x^2-\frac{2a}{1+a}x+y^2=0$$ $$(1-a)x^2-2ax+(1+a)y^2=0$$

Si $0<a<1$ entonces es una elipse.

Si $a=1$ entonces es una parábola.

Si $a>1$ entonces es una hipérbola.

Answer 2

Punto $C$ debe tener la misma distancia de $x$ y de la línea $OB$

También debe estar en el segmento $AB$ .

$A(a,\;0)$ y señalar $B$ se encuentra en la línea $x=-1$ por lo que sus coordenadas son $B(-1,\;s)$ para cualquier $s$

Línea $AB$ tiene la ecuación $y=-\dfrac{s}{a+1}(x-a)$ y la línea $AC$ tiene la ecuación $y=-s x$

$sx +y =0$

$C$ las coordenadas son $C\left(t,\;-\dfrac{s}{a+1}(t-a)\right)$ La forma paramétrica de la ecuación de la recta $AB$ debe ser igual a la distancia de $C$ a la $x$ eje, es decir, el $y$ coordenadas de $C$

$$\dfrac{\left|s t -\dfrac{s}{a+1}(t-a)\right|}{\sqrt{s^2+1}}=\left|-\dfrac{s}{a+1}(t-a)\right|$$

$y$ coordenadas de $C$ es $y=-\dfrac{s}{a+1}(t-a)\to s=\dfrac{(a+1) y}{a-t}$

elevando al cuadrado obtenemos $$\frac{\left(s t-\frac{s (t-a)}{a+1}\right)^2}{s^2+1}=\frac{s^2 (t-a)^2}{(a+1)^2}$$ Introduzca el valor de $s$ y recuerda que $t=x$ , simplificar y, por último $$(1-a) x^2-2 a x+(a+1) y^2=0$$ es la ecuación del lugar que puede ser una elipse si $0<a<1$ una hipérbola si $a> 1$ o una parábola si $a=1$

Espero que esto ayude

Answer 3

Dejemos que $B(-1,t)$ y $\alpha =$ ángulo $AOC$ . Tenemos $\tan \alpha =y/x$ y $\tan 2\alpha = -t $ . Utilice la fórmula del ángulo doble para calcular

$$-t=\frac{2 \tan \alpha }{1-\tan ^2\alpha }=\frac{2y/x}{1-y^2/x^2}$$

Por otro lado, el punto $C$ en $AB$ da

$$\frac{y}{t}=\frac{a-x}{a+1}$$

Eliminación de $t$ obtenemos la ecuación del lugar

$$(a+1)\left(y^2-x^2\right)=2x(a-x)$$