Sobre el teorema de Whitney-Graustein y el $h$ -principio.

Question

Si tiene prisa y esta pregunta aún ha captado su interés, pase directamente a la última proposición, donde se encuentra mi pregunta.

A lo largo de esta pregunta voy a identificar $\mathbb{S}^1$ y $[0,1]/\partial[0,1]$ . Por lo tanto, cuando hable de mapeos de $\mathbb{S}^1$ a $\mathbb{R}^2$ Consideraré los mapas $f\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^2$ tal que $f(0)=f(1)$ .

Dejemos que $I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2)$ sea el conjunto de inmersiones de $\mathbb{S}^1$ en $\mathbb{R}^2$ es decir, el conjunto de $C^1$ -sustitución de $\mathbb{S}^1$ a $\mathbb{R}^2$ tal que sus derivadas no se desvanecen. Mi objetivo es demostrar lo conocido:

Teorema. (Whitney-Graustein) El número de giro da una biyección desde $\pi_0(I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2))$ a $\mathbb{Z}$ .

En aras de la claridad, por ahora dejemos $X:=C^0(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\})$ . Inspirado por el Gromov's $h$ -principio , introduje el siguiente mapa: $$J\colon\left\{\begin{array}{ccc}I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2)&\rightarrow&X\\f&\mapsto&f'\end{array}\right..$$

Afirmo que uno tiene lo siguiente:

Teorema. El mapa $J$ induce una biyección bien definida $$\pi_0(J)\colon\left\{\begin{array}{ccc}\pi_0(I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2))\rightarrow\pi_0(X)\\ [f]_0\mapsto [f']_0\end{array}\right..$$

Ya he demostrado la buena definición y lo siguiente:

Propuesta. Dejemos que $f\in X$ existe $g\in I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2)$ y $H\colon\mathbb{S}^1\times[0,1]\overset{C^0}{\rightarrow}\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ tal que $H(\cdot,0)=f$ y $H(\cdot,1)=g'$ .

Prueba. A petición. $\Box$

Lo que tiene como corolario directo $\pi_0(J)$ siendo suryente. Por lo tanto, me queda establecer lo siguiente:

Propuesta. Dejemos que $g_1,g_2\in I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2)$ tal que existe $H\colon\mathbb{S}^1\times [0,1]\overset{C^0}\rightarrow\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ tal que $H(\cdot,0)={g_1}'$ y $H(\cdot,1)={g_2}'$ . Entonces, existe $F\colon\mathbb{S}^1\times [0,1]\overset{C^1}{\rightarrow}\mathbb{R}^2$ tal que $F(\cdot,0)=g_1$ , $F(\cdot,1)=g_2$ y para todos $t\in [0,1],F(\cdot,t)\in I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2)$ .

Prueba. Mi idea es integrar la homotopía $H$ que está introduciendo: $$F(x,t):=\int_0^xH(u,t)\,\mathrm{d}u-x\int_0^1H(u,t)\,\mathrm{d}u.$$ El término correctivo eliminado está aquí para asegurar que para todos $t\in [0,1]$ , $F(0,t)=F(1,t)$ es decir, para la buena definición de $F(\cdot,t)$ en $\mathbb{S}^1$ . Obsérvese que uno tiene $F(\cdot,0)=g_1-g_1(0)$ y $F(\cdot,1)=g_2-g_2(0)$ . Por lo tanto, si para todo $t\in [0,1]$ , $F(\cdot,t)\in I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R}^2)$ Ya casi he terminado. Sin embargo, no está claro y mal en toda la generalidad, que la siguiente cantidad es distinta de cero: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x,t)=H(x,t)-\int_{0}^1H(u,t)\mathrm{d}u.$$ Ahí es donde estoy atascado. $\Box$

Pregunta. Si $H(x,\cdot)$ no es constante y pertenece a $\mathbb{S}^1$ he terminado. De hecho, $\displaystyle\int_0^1H(u,t)\mathrm{d}u$ estará en el interior del disco unitario. Sin embargo, no tengo claro que pueda reducir mi problema a este caso y hacer una radial ingenua sobre $H(x,\cdot)$ La homotopía no parece ayudar en nada.

Si esta última proposición es cierta, he terminado con la inyectividad de $\pi_0(J)$ y con el teorema de Whitney-Graustein. En efecto, tendré el siguiente diagrama conmutativo, donde todas las flechas son biyecciones:

$$\require{AMScd}\begin{CD} \pi_0(I(\mathbb{S}^1,\mathbb{R})) @>\textrm{turning number}>> \mathbb{Z}\\ @VV\pi_0(J)V @AA\deg A\\ \pi_0(X) @>\textrm{str. def. retract}>> \pi_1(\mathbb{S}^1)\end{CD}$$

Cualquier aclaración será muy apreciada. Si mi enfoque para demostrar la última proposición es simplemente erróneo, ¿podría proporcionarme algunas otras ideas para gestionar mi camino hacia la prueba?

Answer 1

Estás muy cerca de tener todos los detalles. En primer lugar, puedes suponer (por homotopías de la inicial $g_1$ y $g_2$ ) que $g_1$ y $g_2$ ambos tienen una longitud total $1$ y están parametrizados por la longitud de arco. En este caso, los rangos de $g_1^\prime$ , $g_2^\prime$ y $H$ son todos $S^1$ , lo que resuelve una de las cuestiones de su última pregunta.

Ahora, para cualquier $t \in (0,1)$ , $H(x,t) : S^1 \to S^1$ es homotópico a $g_1^\prime$ y $g_2^\prime$ y por lo tanto tiene el mismo grado que esos dos mapas. En particular, si el grado de esos dos es distinto de cero, entonces $H(x,t)$ no puede ser constante para cualquier $t$ y tu argumento funciona. Queda por demostrar que si los grados son cero, se puede elegir $H$ para que $H(x,t)$ no es constante para cada $t$ .

Si los mapas $H(\cdot,0),H(\cdot,1):S^1 \to S^1$ tener un título $0$ podemos elevar a los mapas $h_0,h_1 : S^1 \to \mathbb{R}$ (con respecto a la cobertura habitual $\mathbb{R} \to S^1 : t \mapsto e^{it}$ ). Nótese que esto no sería posible para otros grados, ya que la imagen no sería un bucle. También podemos hacer una homotopía de la inicial $g_0$ y $g_1$ para que $h_0(x) = h_1(x)$ para todos $x\in[0,\varepsilon]$ para algunos pequeños $\varepsilon$ y también para que $h_0$ y $h_1$ no son constantes en este intervalo. Ahora definamos $h_t$ como la homotopía rectilínea de $h_0$ a $h_1$ :

$$h_t(x) = (1-t)h_0(x) + th_1(x),$$

y finalmente,

$$H(x,t) = ( \cos(h_t(x)), \sin(h_t(x)) ),$$

que es una homotopía con todas las propiedades que necesitas. $\square$

Si no lo has hecho, consulta el libro "Principios h y flexibilidad en geometría" de Geiges. Es una introducción excelente y legible al principio h que incluye esta prueba.