¿Por qué tiene el operador Stein para aproximaciones normales la forma $( \mathcal Af)(x)=f^ \prime (x)-xf(x)$ ?

Question

Mi pregunta: ¿Por qué el operador Stein $ \mathcal A$ para aproximaciones normales la forma $( \mathcal Af)(x)=f^ \prime (x)-xf(x)$ ? ¿Cómo se puede deducir esta forma del operador?

Razón de mi pregunta: Trato de entender El método de Stein . Hasta ahora entiendo que se puede usar este método para encontrar estimaciones de distancias entre variables aleatorias $W$ y $N$ de la forma

$$ \sup_ {h \in\mathcal H} |E[h(W)]-E[h(N)]|$$

donde $N$ será una aproximación de $W$ (Estoy interesado en el caso, donde $N$ tiene la distribución normal estándar). El primero establece $g(x)=h(x)-E[h(N)]$ de tal manera que

$$|E[h(W)]-E[h(N)]| = |E[g(W)]|$$

En lugar de estimar $|E[h(W)]-E[h(N)]|$ también se puede estimar $|E[g(W)]|$ que no incluye $N$ (este paso es convincente para mí).

Para encontrar fácilmente las estimaciones se establece $( \mathcal A f)(x)=g(x)$ con un cierto operador $ \mathcal A$ (el operador Stein). Para las aproximaciones contra la distribución normal $( \mathcal Af)(x)=f^ \prime (x)-xf(x)$ se utiliza. Así,

$$|E[h(W)]-E[h(N)]| = |E[f^ \prime (W)-Wf(W)]|$$

Vi en la prueba de la Teorema de Berry-Esseen que $|E[f^ \prime (W)-Wf(W)]|$ puede ser más fácil de estimar que $|E[h(W)]-E[h(N)]|$ .

Lo que no entiendo, es por qué $( \mathcal Af)(x)=f^ \prime (x)-xf(x)$ fue elegido en primer lugar. ¡¿Es sólo una suposición afortunada?! ¿Qué cadena de pensamientos me llevó a la elección $( \mathcal Af)(x)=f^ \prime (x)-xf(x)$ para la aproximación normal?

Answer 1

No es una suposición afortunada. Está en el corazón del método de Stein: necesitas una ecuación caracterizadora para tu distribución. No hay una único ecuación, pero de hecho muchas y dependiendo de la situación, se podrían utilizar otras ecuaciones de caracterización.

En el caso de la distribución normal, se trata en realidad de una simple integración por partes. A continuación, todas las expectativas son con respecto a la distribución normal $c e^{-x^2/2}$ . Deje que $f(x)$ ser lo suficientemente bueno para que funcione lo siguiente:

$$E[f'(x)]= \int_ {- \infty }^ \infty f'(x)ce^{-x^2/2}dx= \left.f (x)ce^{-x^2/2} \right |_{- \infty }^ \infty + \int_ {- \infty }^ \infty f(x)xce^{-x^2/2}dx=E[xf(x)].$$

Ahora define $(Af)(x)=f'(x)-xf(x)$ y noten que $E[(Af)(x)]=0$ cuando se utiliza la distribución normal.

Ahora olvídate de la distribución normal. Para una medida arbitraria $ \mu $ supongamos que $E_ \mu [(Af)(x)]:= \int (Af)(x)d \mu =0$ para una gran clase de funciones, digamos $f \in C^1$ y $f(x),f'(x)$ con un soporte compacto, entonces $ \mu $ debe ser la distribución normal. En otras palabras, si $ \mu $ es no la distribución normal, entonces hay por lo menos en la función $f(x)$ que rompe la ecuación de Stein. Esto requiere un poco de prueba, pero no es demasiado difícil y se puede encontrar en cualquier introducción a El método de Stein .

Fíjate que en lugar de empezar con $E[f'(x)]$ podríamos haber empezado con $E[f''(x)]$ o incluso $E[f'(x)x^2]$ etc. Entonces, al integrar por partes podríamos llegar a una familia infinita de operadores $ \mathcal {A}$ que caracterizan la distribución normal.