Ergodicidad de cadena de Markov

Question

$(X_n)_n$ es un tiempo discreto, el tiempo homogéneo de la cadena de Markov. He de tener la siguiente matriz de transición y quiere mostrar si la cadena es ergodic.

$$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$$

Traté de calcular $P^2 P^3 $.... No tengo todos los coeficientes $>0$.

No hay una única distribución estacionaria [$\frac{1}{2},0,0,\frac{1}{2}$] así que no se puede probar que esto no es ergodic.

Más encima, no puedo demostrar que la distribución es periódica, por ejemplo,$P=P^5$ .

He intentado mostrar que la matriz es irreductible con $A=(A+ \, \text{Id})^n$ ( encontrar un n con todos los coeficientes >0).

Estoy bastante atascado ahora, gracias por su ayuda

Answer 1

La cadena de Markov es no ergodic.

Considere la posibilidad de una (más general) de la matriz de la forma

$$P = \begin{pmatrix} p_{11} & 0 & 0 & p_{14} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \\ p_{41} & 0 & 0 & p_{44} \end{pmatrix}.$$

Estamos interesados en $Q := P^2$. Por definición (de la multiplicación de la matriz), tenemos

$$q_{12} = \sum_{j=1}^4 p_{1j} p_{j2} = p_{11} \underbrace{p_{12}}_{0} + \underbrace{p_{12}}_{0} p_{22} + \underbrace{p_{13}}_{0} p_{32} + p_{14} \underbrace{p_{42}}_{0}=0.$$

Exactamente la misma argumentación de los rendimientos

$$q_{13} = q_{42} = q_{43}=0.$$

Esto significa que $Q=P^2$ también es de la forma

$$Q= P^2 = \begin{pmatrix} q_{11} & 0 & 0 & q_{14} \\ q_{21} & q_{22} & q_{23} & q_{24} \\ q_{31} & q_{32} & q_{33} & q_{34} \\ q_{41} & 0 & 0 & q_{44} \end{pmatrix}.$$

Repitiendo este argumento, nos encontramos con que para cualquier $n \in \mathbb{N}$ $P^n$ es de esta forma, es decir,

$$(P^n)_{1,2} = (P^n)_{1,3} = (P^n)_{4,2} = (P^n)_{4,3}=0.$$

Esto demuestra que $P$ no es ergodic.