¿Qué es el significante de la transpuesta de una transformación lineal de la matriz? Si la matriz es igual a su transpuesta, su simétrico, pero eso no tiene ninguna importancia en lo que la transformación no?
Respuesta
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littleO
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Una respuesta rápida es que si $A$ es un auténtico $m \times n$ matriz, entonces la clave de propiedad de $A^T$ es que $$ \langle A^T z, x \rangle = \langle z, Ax \rangle $$ para todos los $x \in \mathbb R^n, z \in \mathbb R^m$. A menudo esta es la mejor manera de pensar acerca de la $A^T$.
He aquí un punto de vista más abstracto:
Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales sobre un campo $F$, y deje $T:V \to W$ ser una transformación lineal. Entonces si $z$ es un funcional lineal en $W$, podemos definir un funcional lineal $T^*z$ $V$ como sigue: $$ \etiqueta{$\spadesuit$}T^*z(x) = z(Tx) \qquad \text{para todo } x \en V. $$ La función de $T^*:W^* \to V^*$ es una transformación lineal, la cual podría ser llamado el "doble" de $T$ o de la "transposición" de $T$. Si usamos la notación sugerente $$\langle z, w \rangle := z(w) $$ then equation ($\spadesuit$) se convierte en $$ \langle T^*z, x \rangle = \langle z, Tx \rangle \qquad \text{para todo } x \en V. $$
Ahora supongamos que $U$ $V$ son finito dimensionales y $\alpha$ $\beta$ están ordenados de bases de $U$$V$, respectivamente. Deje $\alpha^*$ $\beta^*$ la correspondiente dual bases. Si la representación de la matriz de $T$ con respecto al $\alpha$$\beta$$A$, entonces usted puede comprobar que la representación de la matriz de $T^*$ con respecto al $\beta^*$$\alpha^*$$A^T$, la transpuesta de a $A$.
La asignación de $T^*$ es lo que realmente es fundamental. $A^T$ es simplemente una matriz que representa a $T^*$.
