Donde debemos compacidad en esta prueba?

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico y $f:X\to X$ continuo. Un sistema dinámico es llamado positivamente expansivo si $$\exists c > 0 \ \ \forall x, y \in X \ \left( x \neq y \implies \exists n \geq 1: d(f^n(x), f^n(y)) > c \right).$$

Según mis notas de la conferencia, si $X$ es compacto, expansividad positiva puede ser caracterizado topológicamente:

Deje $X$ ser compacto. A continuación, $f$ es positivamente expansiva iff hay un barrio $U$ de la diagonal $\Delta_X$ tal que para todos los $(x,y)\in U \setminus \Delta_X$ tiene $\mathcal O_{f \times f}(x,y)\not\subseteq U$.

Donde

$\Delta_X := \{(x,y)\in X\times X \mid x=y \}$

$(f \times f)^n (x,y) := (f^n(x), f^n(y))$

$\mathcal O_{f \times f}(x,y):= \{(f \times f)^n (x,y) \mid n\geq1 \}$

---

La prueba parece ser trivial con $U := \{ (x,y)\in X\times X \mid d(x,y) < c \}$ en una dirección y una ligera variación en otra dirección.

Pero, ¿de dónde necesitamos compacidad aquí?

Añadió:

"Una ligera variación en otra dirección":

$U\subseteq X\times X$ es un barrio de la diagonal $\Delta_X$ fib existe $a > 0$ tal que $V_a:= \{ (x,y)\in X\times X \mid d(x,y) < a \} \subset U$. Ahora con $c:=a$ obtenemos la definición de expansividad positiva.

Answer 1

El problema con la prueba de ello es que su definición y caracterización de un barrio de la diagonal no es correcto.

Usted tiene que para cada una de las $(x,x)$ hay algo de $d_x$ de manera tal que la de la bola de radio $d_x$ está dentro de $U$. Pero esto $d_x$ puede depender de $x$ y no tienes uniforme atado en general.

Se necesita que la $X$ es compacto para su declaración en relación al $V_a$ para ser verdad.

Answer 2

Aquí es un ejemplo concreto que muestra el fracaso del resultado de un no-espacio compacto. Como verás, la nbhd $U$ de la diagonal se utiliza para verificar que es un ejemplo no cumple con su caracterización de nbhds de la diagonal de un espacio métrico; como otros han señalado, que la caracterización mantiene sólo para espacios compactos.

Deje $X=(0,1)$ con la métrica usual, y deje $f:X\to X:x\mapsto\frac{x}2$; evidentemente $f$ no es positivamente expansiva. Para $n\in\Bbb N$ vamos

$$p_n=\left\langle\frac1{2^n},\frac1{2^n}-\frac1{2^{2n+1}}\right\rangle=\left\langle\frac1{2^n},\frac{2^{n+1}-1}{2^{2n+1}}\right\rangle\;,$$

así que $p_0=\left\langle 1,\frac12\right\rangle$, $p_1=\left\langle\frac12,\frac38\right\rangle$, $p_2=\left\langle\frac14,\frac7{32}\right\rangle$, y así sucesivamente. Deje $S_n$ ser el segmento de recta con extremos de $p_n$$p_{n+1}$, y deje $S=\bigcup_{n\in\Bbb N}S_n$. Deje $S'$ ser el reflejo de $S$ en la diagonal $y=x$ junto con el segmento con extremos de $\left\langle\frac12,1\right\rangle$$\langle 1,1\rangle$. Por último, vamos a $U$ ser el conjunto de puntos de $X\times X$ mintiendo estrictamente entre el$S$$S'$; claramente $U$ es simétrica abrir nbhd de $\Delta_X$.

Supongamos que $0<b<a<1$. Deje $m=\frac{b}a<1$; la órbita de $\langle a,b\rangle$ bajo $f\times f$ se encuentra en la línea de $y=mx$. Para cada una de las $n\in\Bbb N$ hemos

$$\frac{\frac{2^{n+1}-1}{2^{2n+1}}}{\frac1{2^n}}=\frac{2^n\left(2^{n+1}-1\right)}{2^{2n+1}}=1-\frac1{2^{n+1}}\;,$$

por lo $p_n$ se encuentra en la línea de $y=\left(1-\frac1{2^{n+1}}\right)x$, y claramente $1-\frac1{2^{n+1}}>m$ para todos lo suficientemente grande $n$, por lo que la órbita de $\langle a,b\rangle$ bajo $f\times f$ eventualmente las hojas de $U$.

Answer 3

En primer lugar tenemos las siguientes

Lema. Deje $M$ ser un espacio métrico. Si $K\subset M$ es compacto y $V\subset M$ es un conjunto abierto tal que $K\subset V$, entonces no existe $\delta>0$ tal que $\bigcup_{k\in K}B(k,\delta)\subset V$ donde $B(k,\delta):=\{y\in M:d(k,y)<\delta\}$.

No es difícil probar esto.

Para cada una de las $k\in K$ existe $\delta_k>0$ tal que $B(k,\delta_k)\subset V$. La compacidad de $K$ nos permite llevar a $k_1,\dots,k_n\in K$ tal que $K\subset\bigcup_{i\leq n}B\left(k_i,\frac{\delta_{k_i}}{2}\right)$. Pretendemos que $\delta=\min\{\frac{\delta_{k_1}}{2},\dotso,\frac{\delta_{k_n}}{2}\}$ que hace el trabajo. De hecho, si $x\in \bigcup_{k\in K}B(k,\delta)$, $d(x,k)<\delta$ algunos $k\in K$, por lo tanto, no existe $j\leq n$ tal que $d(k,k_j)<\frac{\delta_{k_j}}{2}$, e $d(x,k_j)\leq d(x,k)+d(k,k_j)<\delta+\frac{\delta_{k_j}}{2}\leq \delta_{k_j}\Rightarrow x\in B(k_j,\delta_{k_j})\subset V.$

Si consideras $X\times X$ dotado de la métrica $d'((x,y),(x',y'))=\max\{d(x,x'),d(y,y')\}$, aviso que $$V_\delta=\{(x,y):d(x,y)<\delta\}\subset\bigcup_{x\in X}B'((x,x),\delta),$$ donde $B'((x,x),\delta)$ es la bola abierta en $X\times X$ en la métrica de $d'$. Desde $X$ es compacto Hausdorff, se deduce que el $\Delta_X$ es compacto, por lo que podemos aplicar el lema sustitución de $M$$K$$X\times X$$\Delta_X$, respectivamente.

Por último, si usted tiene un vecindario $U$ como en tu pregunta, entonces existe un conjunto abierto $V$ tal que $\Delta_X\subset V\subset U$, y se puede aplicar el lema, la obtención de $\delta>0$ tal que $$\Delta_X\subset V_\delta\subset \bigcup_{x\in X}B'((x,x),\delta)\subset V\subset U.$$