Uso de la sustitución U para integrales

Question

Cuál es la integral de las siguientes: $$\frac{\sin 2x}{1+\sin x}$$

Sé que $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ y luego sustituí $u$ pour $\sin x$ pero me quedé atascado después de eso. ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Tenemos $du=\cos x\,dx$ . Sustituir $\cos x\,dx$ por $du$ y $\sin x$ por $u$ . Así que queremos $$\int 2\frac{u}{1+u}\,du.$$ Tenga en cuenta que $\dfrac{u}{1+u}=1-\dfrac{1}{1+u}$ . La integral es $2u-2\log(|1+u|)+C$ .

Es algo más fácil hacer la sustitución $v=1+\sin x$ . Entonces $dv=\cos x\,dx$ y $\sin x=v-1$ . Al sustituir se obtiene $$\int 2\frac{v-1}{v}\,du.$$

Pero $\dfrac{v-1}{v}=1-\dfrac{1}{v}$ . Ahora la integración es fácil.