Encontrar el mínimo valor de $\sqrt {2x^2+2y^2} +\sqrt {y^2+x^2-4y+4} +\sqrt {x^2+y^2-4x-4y+8}$

Question

Dado que $0\lt x\lt 2$ e $0\lt y\lt 2$ , a continuación, encontrar el mínimo valor de $$\sqrt {2x^2+2y^2} +\sqrt {y^2+x^2-4y+4} +\sqrt {x^2+y^2-4x-4y+8}$$

Yo:

En la factorización necesitamos valor mínimo de $$\sqrt {2x^2+2y^2} +\sqrt {(y-2)^2+x^2} +\sqrt {(x-2)^2+(y-2)^2}$$

Al verlo por primera vez, lo único que apareció fue el uso de la desigualdad de Minkowski pero no estoy recibiendo adecuada secuencias para su aplicación. He intentado todo lo que pude para utilizar esta desigualdad, pero fracasó.

Traté de sustituir $x=2\cos \alpha$ e $y=2\cos \beta$ (donde $\alpha, \beta \in \left(0,\frac {\pi}{2}\right)$ )en ver las limitaciones de la $x$ e $y$ , pero continúa era muy engorroso así cayó el método.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

P. S : sería muy grande si alguien da pistas de cómo podría utilizar la desigualdad de Minkowski de manera eficiente. Gracias!!!

Answer 1

Usted todavía puede usar Minkowski como: $$\sqrt{(x+y)^2+(y-x)^2}+\sqrt{(2-y)^2+x^2}+\sqrt{(2-x)^2+(2-y)^2}\geq\sqrt{(x+y+2-y+2-x)^2+(y-x+x+2-y)^2}=\sqrt{20}.$$ Uno puede comprobar que la igualdad se alcanza cuando: $$(x,y) = \left(\frac 25,\frac 65\right).$$

Answer 2

Usted puede vestir para arriba su argumento geométrico como una desigualdad en $\mathbb{C}$.

Deje $z=x+iy$, $a=2i$, $b=2-2i$. Entonces \begin{align} \sqrt{2x^2+2y^2} &= \lvert (1-i)z\rvert\\ \sqrt{y^2+x^2-4y+4} &= \lvert z-a\rvert\\ \sqrt{x^2+y^2-4x-4y+8} &= \lvert -iz-b\rvert \end{align} De modo que el triángulo de la desigualdad da $$ \lvert (1-i)z\rvert + \lvert z-a\rvert + \lvert -iz-b\rvert \ge \lvert a-b\rvert $$ con igualdad si y sólo si los cuatro puntos de $a,z,-iz,b$ están todos en la misma línea, y en ese orden. Ahora argumentar por qué un $z$ existe.