La prueba de $(0,1)$ no es compacto con la costumbre de métrica.

Question

En la prueba nos dice $\left\{\left(\frac1n,1\right):n\geq 1\right\}$ es un infinito cubrir sin finito subcover.

Pero, $(0,1)$ pertenece también para cubrir los mencionados anteriormente. Podemos decir $\{(0,1)\}$ es un subcover de las mencionadas más arriba de la cubierta.

Yo no soy capaz de entender lo que estoy haciendo mal.

Answer 1

$(0,1)$ no está en su apertura de la tapa (para que entero $n$ $0$ de la forma $1/n$?). Por lo tanto, no puede estar en un subcover.

Para demostrar que no tiene finita subcover, tomar una finito subcover. Un ser finito, tendría un máximo entero $n$ incluido, decir $N$. Pero entonces el subcover es un subconjunto de $$ \left( \frac{1}{N}, 1 \right), $$ dado que todos los otros $1/n$ es mayor que $1/N$. Por lo tanto, usted miss cualquier punto entre el$0$$1/N$.

(Como alternativa, el uso que un subconjunto de un espacio métrico compacto iff secuencialmente compacto, y considerar la secuencia de $1/n$, lo que claramente es de Cauchy, &c.)

Answer 2

Le sugiero que van de la siguiente manera: Primer intento de mostrar todo compacto conjuntos son cerrados, a continuación, ver por qué (0,1) no es compacto.