En general, no tengo una concepción de alto nivel de lo que sucede en mi clase de teoría de números. Parece una colección suelta de teoremas y técnicas que se pueden utilizar en algunos problemas, pero me cuesta relacionar los nuevos teoremas con mis conocimientos previos, o entender su significado, por lo que los olvido o nunca descubro cómo utilizarlos. Preferiría un consejo más general con esto como ejemplo, en lugar de sólo pistas sobre cómo resolver este problema en particular, porque inevitablemente fallaría en la generalización.
Si $a\ne z^6$ para cualquier $z$ y $x^2 \equiv a$ (mod $m$ ) y $y^3 \equiv a$ (mod $m$ ), entonces $\gcd(a,m) = 1$
Estoy tratando de demostrar un enunciado más general, y lo estaba repasando con una amiga, y ella utilizó lo anterior como parte de su prueba, pero olvidé cómo lo demostró. Es el único paso que queda para mi prueba.
En general, si tienes una congruencia $f(x) = a$ (mod $m$ ), entonces se toma la factorización prima de $m = \prod_i p_i^{k_i}$ y mira $f(x) = a$ (mod $p_i^{k_i}$ ). Pero no sé dónde ir a partir de ahí. El lema de Hensel parece funcionar para bajar a mod $p_i$ en algunos casos, pero no estoy seguro de que funcione en este caso.
En este caso estoy tratando de demostrar que $\gcd(x,p_i) = 1$ (o y en lugar de x). Si $\gcd(a,p_i^{k_i}) = 1$ entonces $\gcd(x^2,p_i^{k_i}) = 1$ así que $\gcd(x,p_i) = 1$ . Pero, ¿cómo se consigue ese primer paso? En general, parece que para congruencias de esta forma se necesita $a$ y $m$ ser coprima para tener soluciones, pero ¿por qué es así? Tampoco he podido encontrar un teorema que funcione en este caso concreto.
Supongo que debería añadir el problema original por si alguien puede encontrar una solución mejor, o si mi método es un callejón sin salida.
Si existe $x$ , $y$ tal que $x^2 \equiv y^3 \equiv a$ mod $m$ entonces existe un $z^6 \equiv a$ mod $m$
Mi estrategia de prueba es tomar $z=x^{1}y^2$ así que $z^6=(x^2)^{3}(y^3)^4=a$ pero necesito $x^{-1}$ estar bien definida, por lo que necesito $\gcd(x,p)=1$ que obtengo de $(a,p_k)=1$ . Alternativamente, si consigo que y sea coprima, entonces puedo ajustar los exponentes.
EDITAR
En realidad, esto es erróneo (¿edición, creo?). En su lugar, podemos tratar los casos: si $p|a$ entonces $p^{6n}|a$ . Si $6n \ge k$ , elige $z \equiv 0$ , si $6n < k$ , factorizar el $p^{6n}$ y hacer la construcción anterior. Puedo poner más detalles si alguien quiere. Aun así me gustaría una respuesta a mi pregunta general.
