La continuidad de la $T \mapsto \pi_{\operatorname{ker}T}$ w.r.t. el SOT

Question

Me encontré con la siguiente pregunta técnica, a la que yo no podía - después de algún tiempo de pensar - encontrar una respuesta:

Deje $\mathcal{U},\mathcal{H}$ dos reales (en general de infinitas dimensiones) separables espacios de Hilbert. Para algunos lineal subespacio $\bar{U} \subseteq \mathcal{U}$, vamos a $\Pi_U$ el valor de la proyección ortogonal en este subespacio. La pregunta es:

Es la asignación de $T \mapsto \Pi_{\operatorname{ker}T}$ continuo de $L(\mathcal{U},\mathcal{H})$ $L(\mathcal{U})$cuando ambos espacios están dotados de la fuerte operador de topología?

Cualquier sugerencias y pensamientos sobre esto son más que apreciado!

Answer 1

Para un contraejemplo tome $\mathcal{U} = \mathcal{H} = \mathbb{R}$ y deje $T_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser definido por $T_n x = \frac{x}{n}$. A continuación, $T_n \to 0$ en el fuerte del operador de la topología (y, de hecho, incluso en el operador de la norma). Sin embargo $\ker T_n = \{0\}$ todos los $n$ por lo que para cada $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tenemos que $0 = \Pi_{\ker T_n} x \not \to \Pi_{\ker 0}x = x$.