La elección de 10 bolas de una caja de 90 bolas

Question

Una caja contiene $30$ bolas rojas, $30$ bolas blancas y $30$ bolas de color azul. Si $10$ bolas son seleccionados al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de color se deben faltar en la selección?

La respuesta es:

Solución: Deje $A_1, A_2$ $A_3$ ser los eventos que no hay red, no blanco y no azul bolas, respectivamente. Luego por la inclusión-exclusión en el principio,

$P(A_1\cup A_2\cup A_3) = \sum_{i}P(A_i)-\sum_{i<j}P(A_i\cap A_j)+ P(A_1\cap A_2\cap A_3)$.

Claramente, $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=0$$P(A_i\cap A_j)={\binom{30}{10}\over{\binom{90}{10}}}$$i\ne j$. Finalmente,

$P(A_i)= {{\sum\limits_{k=1}^{10}\binom{30}{k}\binom{30}{10-k}}\over{\binom{90}{10}}}={{\sum\limits_{k=0}^{10}\binom{30}{k}\binom{30}{10-k}-\binom{30}{10}}\over{\binom{90}{10}}}={{\binom{60}{10}-\binom{30}{10}}\over{\binom{90}{10}}}$

¿Por qué no se acaba de $\binom{60}{10}\over\binom{90}{10}$?

Answer 1

Estás en lo correcto. El numerador

$$\sum_{k=1}^{10}\binom{30}k\binom{30}{10-k}\tag{1}$$

es, por ejemplo, el número de formas de elegir los $30$ bolas de manera que ninguna bola es de color rojo, y al menos una bola es blanca. Esta cantidad no es útil en este problema. Podía ver a alguien mirando

$$\sum_{k=1}^{9}\binom{30}k\binom{30}{10-k}=\binom{60}{10}-2\binom{30}{10}\;,$$

que es, por ejemplo, el número de formas de elegir los $30$ rojo y blanco bolas de manera que usted tiene por lo menos uno de cada color: tres veces esta cantidad es el número de formas de seleccionar $30$ bolas y terminar con exactamente dos colores representados entre los $30$. Uno podría, a continuación, agregue $3\binom{30}{10}$, el número de maneras de elegir un conjunto monocromático, para obtener el número de conjuntos que contienen bolas de dos colores. Pero $(1)$ no tiene ningún sentido que aquí lo que puedo ver.