Se esta secuencia de polinomios convergen a un polinomio de Hermite pointwise?

Question

Al intentar resolver esta pregunta mis pruebas conducen a una observación que me pareció interesante en su propio derecho. Considere la posibilidad de la transformación lineal $L:P\to P$ desde el espacio de funciones polinómicas $p\in\Bbb{R}[x]$ a definido a sí misma mediante el establecimiento $L(p)=p+p'$, y las recorre en $$ L^n(p)=\sum_{i=0}^\infty\binom{n}{i}p^{(i)}. $$ Escribir $G_{m,n}(x):=L^n(x^m)$. Estos polinomios son monic de grado $m$. Si luego de hacer la sustitución lineal $$ H_{m,n}(x):=\frac1{n^{m/2}}G_{m,n}(\sqrt n x-n) $$ tenemos otra secuencia de monic polinomios de grado $m$.

A mí me parece que tenemos el límite $$ \lim_{n\to\infty}H_{m,n}(x)=He_m(x), $$ donde el polinomio $He_m(x)$ es el llamado probabilists' polinomio de Hermite. Aquí la convergencia puede ser pensado como pointwise o en términos de los coeficientes de los polinomios.

Se puede demostrar esto? Es conocido?

Las pruebas que he apoya esta muy fuertemente, podemos calcular que $$ \begin{aligned} H_{1,n}(x)&=x,\\ H_{2,n}(x)&=x^2-1,\\ H_{3,n}(x)&=x^3-3x+\frac2{\sqrt{n}},\\ H_{4,n}(x)&=x^4+6x^2+\frac8{\sqrt{n}}x+3-\frac6n,\\ H_{5,n}(x)&=x^5-10x^3+\frac{20}{\sqrt{n}}x^2+\left(15-\frac{30}n\right)x+\frac{24}{n^{3/2}}-\frac{20}{\sqrt n}. \end{aligned} $$ Tomando el límite cuando $n\to\infty$ es trivial aquí, y los resultados están de acuerdo con $He_m(x)$.

Además, el operador $L$ viajes con la diferenciación, entonces, si asumimos que el límite $\tilde{H}_m(x)=\lim_{n\to\infty}H_{m,n}(x)$ existe como un polinomio por todos los $m$, entonces la regla de la cadena nos da como consecuencia de $Dx^m=mx^{m-1}$ que $$ \tilde{H}_m'(x)=m\tilde{H}_{m-1}(x). $$ Esta es una de las propiedades listadas de la probabilist los polinomios de Hermite en que Wikipedia-artículo. Si tan sólo pudiéramos determinar el término constante, entonces esto podría conducir a una prueba por inducción.

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Una pregunta de seguimiento está relacionado con la conjetura hice mientras trataba de responder a esa pregunta. La respuesta de George Lowther muestra que para cualquier monic polinomio $p$ grado $m$ los polinomios $L^n(p)$ han $m$ distintas raíces reales para todos lo suficientemente grande enteros $n$.

Si tenemos el número de estos ceros como $z_{1,n}>z_{2,n}>\cdots>z_{m,n}$, entonces los límites de $$ z_i=\lim_{n\to\infty}\frac{z_{i,n}+n}{\sqrt n} $$ existen, y de acuerdo con los ceros de $He_m(x)$.

Las pruebas que tengo para esto no es tan fuerte. Sí parece que la contribución de los líderes del plazo de $p$ $L^n(p)$ va a dominar a los demás para grandes $n$. Sin embargo, estoy muy oxidado en la estimación de los términos de error, y no tiene que resultar acerca de los límites aún :-(

Answer 1

Sí, en efecto, tenemos $H_{m,n}(x)\to He_m(x)$. De manera más general, para cualquier monic grado $m$ polinomio $p$, establecimiento $p_n=L^np$,$n^{-m/2}p_n(\sqrt nx-n)\to He_m(x)$$n\to\infty$. Como el probabilists' Hermite polinomio tiene raíces reales distintas, esto implica que los ceros de $p_n(\sqrt nx-n)$ tienden a aquellos de $He_m$.

La idea es escribir $$ p_{n+1}(x)=p_n(x)+p_n^\prime(x) = e^{-x}\frac{d}{dx}e^xp_n(x) $$ que se puede invertir, \begin{align} p_n(x)&=\int_0^\infty e^{-t}p_{n+1}(x-t)dt\\ &=\mathbb{E}[p_{n+1}(x-X)] \end{align} donde $X$ es una variable aleatoria con la distribución exponencial (con parámetro tasa de $1$), que tiene media y varianza igual a $1$. Entonces, podemos repetir este procedimiento para obtener $$ p(x)=\mathbb{E}[p_n(x-X_1-X_2-\cdots-X_n)] $$ para independiente exponenciales $X_i$. Por el teorema central del límite, las variables aleatorias $$ Z_n\equiv\frac{n-X_1-X_2-\cdots-X_n}{\sqrt n} $$ converge en distribución a la distribución normal estándar como $n\to\infty$. A continuación, ajuste de $f_n(x)=n^{-m/2}p_n(\sqrt nx-n)$, \begin{align} \mathbb{E}[f_n(x+Z_n)]&=n^{-m/2}\mathbb{E}[p_n(\sqrt nx-X_1-X_2-\cdots-X_n)]\\ &=n^{-m/2}p(\sqrt nx)\\ &\to x^m \end{align} como $n\to\infty$. Esto sugiere que el resultado ahora. Si $Z$ es una variable aleatoria normal estándar, entonces el probabilists' polinomio de Hermite satisface la identidad de $\mathbb{E}[He_m(x+Z)]=x^m$. Si escribimos $f_n(x)=He_m(x)+q_n(x)$, $f_n$ $He_m$ son tanto monic grado $m$ polinomios, $q_n$ es de grado menor que $m$ y, \begin{align} \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[q_n(x+Z_n)]&=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[f_n(x+Z_n)-He_m(x+Z_n)]\\ &=x^m-\mathbb{E}[He_m(x+Z)]\\ &=0. \end{align} Aquí, he aplicado el Teorema del Límite Central¹ y poner en el límite de $\mathbb{E}[He_m(x+Z_n)]\to\mathbb{E}[He_m(x+Z)]$. Si $q_n(x)=\sum_{r=0}^{m-1}c^{(n)}_rx^r$, entonces el coeficiente de $x^r$ $\mathbb{E}[q_n(x+Z_n)]$ es $$ c^{(n)}_r + \sum_{k=1}^{m-r-1}\binom{r+k}{k}c^{(n)}_{r+k}\mathbb{E}[Z_n^k], $$ que tiene que tienden a $0$$n\to\infty$. Esto implica inmediatamente que $c^{(n)}_{m-1}\to0$. Como el momento en el $\mathbb{E}[Z_n^k]$ convergen para los momentos de una normal estándar, que son acotados. Así, una vez que hemos demostrado que $\lim_{n\to\infty}c^{(n)}_{r_k}=0$ por cada $k > 0$, se deduce que el $\lim_{n\to\infty}c^{(n)}_r=0$. Así, por inducción sobre $r$, $c^{(n)}_r\to0$ como $n\to\infty$, a partir de la cual los límites de $q_n\to0$ $f_n\to He_m$ seguir.

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¹ Arriba, he aplicado el Teorema Central del Límite en la forma $\mathbb{E}[g(Z_n)]\to\mathbb{E}[g(Z)]$ para los polinomios de $g$. Esto no es exactamente la forma en la que habitualmente se considera, que la convergencia en distribución se utiliza (es decir, $g$ es un continuo delimitado de la función). Como las variables $X_n$ han finito momentos, los momentos de $Z_n$ hecho converger a los momentos de la normal de $Z$ o, de manera equivalente, $g$ puede ser tomado a cualquier polinomio. Voy a tratar de encontrar una referencia a la CLT en esta forma, aunque es fácil demostrar (más fácil que el estándar de CLT).