Edit: no parece ser un error tipográfico en la pregunta original.
Este es un pasado en el examen de la cuestión que estoy tratando de resolver. Supongamos que $X_1,\ldots, X_n$ son yo.yo.d. Uniforme (0, $\theta$) variables aleatorias. Deje $X_{n:n} = \max_{1 \leq i \leq n} X_i.$
Encontrar el límite de distribución de: $$\frac{2\sum_{i=1}^n X_i - \theta}{\sqrt{n}X_{n:n}},$$ como $n \rightarrow \infty$. Esto es lo que he sido capaz de hacer:
- 1) Puede mostrar que la limitación de la distribución de $X_{n:n}$ es $\theta$ trabajando en la CDF de $X_{n:n}$ como $n$ tiende a infinito;
- 2) el Uso de Basu del Teorema, yo era capaz de mostrar que $\sum_{i=1}^n X_i/\theta$ es independiente de $X_{n:n}$ , ya que la distribución de $\sum_{i=1}^n X_i/\theta$ es independiente de $\theta$ y por lo tanto es un auxiliar de estadística. Yo también era capaz de demostrar que $X_{n:n}$ fue un boundedly completa suficientes estadística.
Puedo trabajar en el plazo inicial para obtener el siguiente: $$\frac{2\sum_{i=1}^n X_i - \theta}{\sqrt{n}X_{n:n}} = \frac{\theta}{X_{n:n}}\frac{\left(2 \sum_{i=1}^n X_i/\theta - 1\right)}{\sqrt{n}}.$$ A partir de 1), sé que $\theta/X_{n:n}$ converge en distribución a 1. Pero, para el segundo plazo de la $\frac{\left(2 \sum_{i=1}^n X_i/\theta - 1\right)}{\sqrt{n}}$, yo no soy capaz de encontrar una limitante de la distribución. Traté de usar la CLT, pero sin ningún éxito. Es mi trabajo hasta el momento equivocado? Gracias por tu ayuda.
