Piedra de la representación de la libre $\sigma$-álgebra en $\omega_1$ libre de generadores

Question

Deje $A$ ser el libre álgebra Booleana en $\omega$ libre de generadores. A continuación, $A$ es isomorfo al campo de clopen subconjuntos del espacio de Cantor $2^\omega$, que es la Piedra espacio de $A$.

Deje $B$ ser libre (Boolean) $\sigma$-álgebra en $\omega$ libre de generadores de este tiempo. Entonces, creo, $B$ es $\sigma$-isomorfo a la $\sigma$-campo generado por el clopen subconjuntos (o subconjuntos de Baire) del espacio de Cantor $2^\omega$, que es no la Piedra espacio de $B$ ya que es la Piedra espacio de $A$.

Deje $C$ ser ahora el libre (Boolean) $\sigma$-álgebra en $\omega_1$ libre de generadores. Es $C$ $\sigma$-isomorfo la $\sigma$-campo generado por el clopen subconjuntos (o subconjuntos de Baire) del espacio de Cantor $2^{\omega_1}$? Es $2^{\omega_1}$ la Piedra espacio de $C$?

Answer 1

Si $D$ es un servicio gratuito de álgebra Booleana en $\kappa$ generadores, su Piedra el espacio es, de hecho, $\{0,1\}^\kappa$: un ultrafilter está determinada por los generadores, de modo que por una función de $f:\kappa \to \{0,1\}$, es decir, un miembro de este Cantor cubo de peso $\kappa$.

Por lo $\{0,1\}^{\omega_1}$ no puede ser la Piedra en el espacio de su $C$. Usted va a querer la Loomis-Sikorski teorema de la $\sigma$-álgebra caso, supongo.