¿Cuál es el significado de "la integral inferior de f de a a b es igual a la supremum de la parte inferior de Darboux sumas de P en [a,b]"

Question

Estoy re-lectura de los apuntes de clase y estoy teniendo un par de problemas. Bueno, entiendo el concepto de una partición. Básicamente tiene esta delimitada la función$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, y estamos creando la idea de la integral de cero con el fin de hacer cálculos con él. Luego introdujo el concepto de un inferior y superior de darboux suma, donde divide su partición en la partición de los intervalos dividido entre la partición de puntos. Así que un Menor Darboux Suma, por ejemplo, es la suma de la infimums de cada partición del intervalo multiplicado por la longitud de la partición del intervalo.

Sin embargo, en la siguiente página se comienza a hablar de "inferior y superior de las integrales" y una de las primeras explicaciones que aquí estoy teniendo problemas para entender lo que "ve".

Se dice que la integral inferior de f de a a b es igual a la supremum{LowerSum(f,Partición) | P una partición de [a,b]}. ¿Qué significa esto?

La manera en que yo lo entiendo ahora es básicamente: http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/riemann_sums/gif/figure6.gif Si se va a añadir todos los cuadrados azules juntos, que es su "Inferior de Darboux Suma" pero, ¿qué es el salto a tener el sup de esta "Suma Menor". Para mí, el Menor de la Suma es un número, entonces, ¿cuál es el significado detrás de supremum-ing?

Además, no era una prueba de que me iba a hacer que dijo textualmente "se Supone que el delimitada la función f:[a,b] de R tiene la propiedad de que $f(x) \geq 0$ para todo x \in [a,b]. Probar que la integral inferior de f es siempre mayor o igual a cero. Geométricamente, esto parece obvio, y yo, básicamente, sólo explicó que el LowerSum es igual a la suma de cada individuo infimum multiplicado por la diferencia en la longitud del intervalo en cuestión, pero me preguntaba si había alguna manera de obtener más claramente (al menos para mí) que indica que "bien, parece que geométricamente equivalente, y debido a que su función es siempre positiva, implica que el área que usted está calculando también será positivo."

Aquí está una foto de mi libro de texto con lo que te estoy hablando en el principio de este post, la prueba no es tan importante en la actualidad: http://oi49.tinypic.com/e8olt3.jpg

Agradezco cualquier perspectiva.

Answer 1

Su libro de texto debe tener una prueba de los hechos siguientes:

Si $P'$ es un refinamiento de la partición $P$$[a,b]$,$L(f,P') \ge L(f,P)$.

Vamos a suponer que existe algún tipo de "verdad" integral que hemos definido ya, y que la integral existe. Cada menor suma se aproxima a la verdad integral, pero va a ser un poco demasiado pequeño (a menos que la función es constante). El anterior hecho afirma que mediante la adición de puntos a su partición, la suma menor se hace más grande y un poco más cerca del verdadero valor de la integral. Echa un vistazo a los diagramas de esta página. Se puede ver que a medida que aumentan el número de puntos en nuestra partición, la menor suma no se dispara hasta el infinito, pero en lugar de converger en algún valor. Podemos definir la (inferior) de la integral de esta manera - como el "límite" de $L(f,P)$ como el número de puntos en $P$ va al infinito, suponiendo que el límite existe. Pero esto es vaga, porque yo podría agregar una gran cantidad de puntos a un área específica del intervalo de $[a,b]$ e ignorar otras áreas. Por eso nos tomamos el $\sup$ sobre todas las posibles particiones.

Para su prueba: estoy asumiendo que usted tiene la siguiente definición: $$L(f,P)=\sum_{i=0}^n \inf \{f(x) \mid x \in [x_{i-1},x_i]\} (x_i - x_{i-1}).$$ La única cosa en esta expresión que, posiblemente, podría ser negativo es el $\inf$, pero $f$ es no negativa. Así que cada $L(f,P)$ es no negativa, lo que significa que $\sup L(f,P)$ es no negativa.