El conjunto de todas las funciones continuas en un localmente compacto Hausdorff espacio.

Question

Estoy leyendo un libro acerca de C*-álgebra. Hay un ejemplo que yo no podía entender. Deje $X$ ser localmente compacto Hausdorff espacio y $C_{0}(X)$ ser el conjunto de todas las funciones continuas de fuga en el infinito. Definir $f^{*}(t)=\overline{f(t)}$ ( $t\in X$ ). Se sabe que $C_{0}(X)$ es *-álgebra. Y, a continuación,

$C_{0}(X)$ es unital si sólo si X es compacto.

No sé cómo explicar esta proposición.

Answer 1

Deje $e \in C_0(X)$ ser la unidad. Para cada una de las $x \in X%$ no es un porcentaje ( $f \in C_0(X)$ $f(x) \ne 0$ . Como $e(x)f(x) = f(x)$ debemos tener $e(x) = 1$. Por lo $e$ es la función constante $e=1$. Pero $1$ "desaparece en el infinito" sólo si $X$ compacto: Por definición no es un compacto $K$ tal que $1 = |1(x)| \le \frac 12$ fuera de $K$, yo. e. en $X \setminus K$, por lo que debemos tener $X \setminus K = \emptyset$ $X= K$ es compacto.

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Addendum: Deje $f \colon X \to \mathbb C$ ser continua. Tenemos $f \in C_0(X)$ fib "$f$ desaparece en el infinito", que es $$\tag{+} \forall \epsilon > 0\>\> \exists \text{compact }K \subseteq X\>\>\def\abs#1{\left|#1\right|}\forall x\in X\setminus K : \abs{f(x)}\le \epsilon $$ Otra forma de describir el $f \in C_0(X)$ es decir que "$f$ es pequeña fuera compacto conjuntos". Ahora vamos a considerar una función constante $f = \lambda$. Como $f$ es continua, tenemos $f\in C_0(X)$ fib $(+)$ mantiene. $(+)$ estados de nuestro constante $f$ que $$\tag{$+_\lambda$} \forall \epsilon > 0\>\> \exists \text{compact }K \subseteq X\>\>\def\abs#1{\left|#1\right|}\forall x\in X\setminus K : \abs{\lambda}\le \epsilon $$ Si $X$ es compacto, podemos optar $K := X$ $(+_\lambda)$ es cierto (como en este caso, la condición de $\forall x \in \emptyset$ está vacía).

Si $X$ no es compacto y $\lambda \ne 0$, vamos a aplicar esto para $\epsilon = \frac{\abs{\lambda}}2$, tenemos un poco de $K \subsetneq X$ tal que $$ \exists x \in X \setminus K \>\> \abs\lambda \le \frac{\lambda}2 $$ lo cual es un disparate. Tan distinto de cero constante funciones no son miembros de $C_0(X)$ en la no-compacto.