Cálculo de $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-x)\cdot(1-x^2)\cdot(1-x^3)\cdots(1-x^{2n})}{\{(1-x)\cdot(1-x^2)\cdot (1-x^3)\cdots(1-x^n)\}^2} = $

Question

Cálculo de $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-x)\cdot(1-x^2)\cdot(1-x^3)\cdots (1-x^{2n})}{\{(1-x)\cdot(1-x^2)\cdot (1-x^3)\cdots(1-x^n)\}^2} = $

A mi Juicio Después de la simplificación, obtenemos $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-x^{n+1})\cdot(1-x^{n+2})\cdot(1-x^{n+3})\cdots(1-x^{2n})}{(1-x)\cdot(1-x^2)\cdot (1-x^3)\cdots(1-x^n)}$$

Ahora no entiendo Cómo puedo solucionar después de eso, me Ayudan

Gracias

Answer 1

Podemos utilizar la identidad: $$1 - x^m = (1-x)(1 + x + \cdots+ x^{m-1})$$ en cada factor, no. Todos los $1-x$ va a cancelar, y vamos a quedar con $$\lim_{x \to 1} \frac{(1+x+\cdots+ x^n)(1+x+\cdots+ x^{n+1})\cdots (1+x+\cdots +x^{2n - 1})}{(1+x)(1+x+x^2)\cdots(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})} = \frac{(n+1)(n+2)\cdots 2n}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots n}$$ Para poner esto muy bien, a ver que $$\frac{(n+1)(n+2)\cdots 2n}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots n} = \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots n \cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots 2n}{ 1\cdot 2 \cdot 3 \cdots n \cdot 1\cdot 2 \cdot 3 \cdots n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$$

Answer 2

Pruebe la factorización $(1-x^n) = (1-x)(1+x+\dots+x^{n-1})$.