Obsérvese en primer lugar que generalmente tenemos la identificación $L^p \cong (L^q)^\ast$ sólo para $q < \infty$ . Para $q = \infty$ , $L^1$ suele ser un subespacio propio de $(L^\infty)^\ast$ . Y no estoy 100% seguro de que $L^\infty \cong (L^1)^\ast$ si la medida no es $\sigma$ -finito, así que supongamos un $\sigma$ -medida finita. Además, excluyamos la medida trivial. Tenemos entonces una incrustación isométrica $L^p \hookrightarrow (L^q)^\ast$ siempre que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ .
De hecho, la desigualdad es
$$\lVert\phi\rVert_p \leqslant \liminf_{n\to\infty} \lVert \phi_n\rVert_p.\tag{1}$$
Para cualquier $\varepsilon > 0$ Hay un $\psi \in L^q$ con $\lVert\psi\rVert_q = 1$ y
$$\int \psi\cdot \phi \,d\mu \geqslant \lVert\phi\rVert_p - \varepsilon.$$
Pero entonces tenemos
$$\lVert\phi_n\rVert_p = \lVert\phi_n\rVert_p\lVert\psi\rVert_q \geqslant \int \phi_n\cdot\psi\,d\mu \to \int \phi\cdot\psi\,d\mu \geqslant \lVert\phi\rVert_p-\varepsilon,$$
lo que implica
$$\liminf_{n\to\infty} \lVert\phi_n\rVert_p \geqslant \lVert\phi\rVert_p - \varepsilon.$$
Dado que esto es válido para todos los $\varepsilon > 0$ , $(1)$ sigue.
Eso no es particular de $L^p$ espacios, siempre que tengamos un espacio débilmente (o débilmente $^\ast$ ) convergente, la norma de la secuencia débil (débil $^\ast$ ) es menor o igual que el $\liminf$ de las normas. El argumento es, mutatis mutandis, el mismo.
Cabe mencionar que para $1 < p < \infty$ El $L^p$ son uniformemente convexos, y en los espacios uniformemente convexos, si $x_n$ converge débilmente a $x$ y también $\lVert x_n\rVert \to \lVert x\rVert$ entonces, de hecho $x_n$ converge a $x$ en la topología de la norma.
