Ciclismo Dígitos rompecabezas

Question

Estoy tratando de responder a las siguientes:

"Tengo en mente un número que, cuando se quita el dígito de las unidades y colóquelo en la parte delantera, da el mismo resultado que la multiplicación de la cantidad original por $2$. Estoy diciendo la verdad?"

Creo que la respuesta es no. Es fácil demostrar que es falso para los números con dos dígitos: Vamos a $N = d_0 + 10 \cdot d_1$. A continuación, $2N = 2 d_0 + 20 d_1$ y el "intercambia" el número $N^\prime = d_1 + 10 d_0$. Nos gustaría tener a $2d_0 + 20 d_1 = d_1 + 10d_0$ lo que equivale a $8d_0 = 19d_1$. El valor más pequeño para que esta igualdad se cumpla es $d_0 = 19, d_1 = 8$ pero $19$ no $\leq 9$ que es, no es un dígito, por lo tanto no hay solución.

Utilizando el mismo argumento que puedo mostrar que la afirmación es falsa por $3$-números de dos dígitos.

Suponemos que es falsa para todos los números. ¿Cómo puedo demostrar que? ¿Existe un argumento general que la mía, para todos los números? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si usted sigue su argumento, pero vamos a $N=a+10b$ donde $a$ es de un solo dígito, pero vamos a $b$ ha $n$ dígitos, a continuación, $2N=10^na+b$ y consigue $b=\frac {10^n-2}{19}a$ Si $n=17$, esto es integral. A continuación, $a$ tiene que ser de al menos $2$ hacer $b$ ha $17$ dígitos. El más pequeño de la solución es $105263157894736842$

Otra forma de llegar es sólo comienzan a multiplicarse. Si supongo que el dígito de las unidades es $2$, el doble que el dígito de las unidades del producto serán a $4$, que será el dígito de las decenas del primer número, y así sucesivamente. Pare cuando el producto comienza con un $2$ y no lo lleva. Usted obtener $$105263157894736842 \\ \underline {\times\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2} \\ 210526315789473684$$ If you had started with a $1$, te haría falta el cero a la izquierda.

Answer 2

El número tiene que ser divisible por 9

El resto de la izquierda por un número cuando se divide por $9$ es igual a la suma de sus dígitos. Ahora, aquí, no va a cambiar los dígitos de la hora de transferir los dígitos, por lo que el resto no cambia. Sin embargo, multiplicando por dos el doble del resto del módulo nueve y esto es una contradicción, a menos que el número es divisible por $9$.

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Solución

Suponga que el número de $u = 9k$ y la representación de $u$ es $$\overline{a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1} a_{0}} = u = 9k$$ . Then $$\overline{a_{0}a_{n}\ldots a_{2} a_{1}} = 2u = 18k$$ .

Por lo tanto multiplicando por 10 que tenemos, $$\overline{a_{0}a_{n}\ldots a_{2} a_{1}} * 10 + a_{0} = 180k + a_{0}$$ .

La reagrupación de los dígitos y, a continuación, escribir el número original como $9k$, obtenemos

$$a_{0}*10^{n+1} + \overline{a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1} a_{0}}= 180k + a_{0}$$

lo que implica que

$$\begin{align} &a_{0}*10^{n+1} + 9k = 180k + a_{0}\\ \\ &\left(10^{n+1} -1 \right) a_{0} = 171k\\ \\ &\underbrace{\overline{99\ldots999}}_{n+1}a_{0} = 171k \end{align}$$

que es $$171k = 9*\left( \underbrace{\overline{11\ldots111}}_{n+1}\right) a_{0}$$

por lo tanto $$19k = \left( \overline{11\ldots 111}\right) a_{0}$$

Así, el problema se reduce a encontrar las soluciones de la ecuación anterior.

Combinining este con Ross Millikan Análisis, obtenemos la ecuación

$$10^{n+1} = 171k + a_{0}$$ y $$9k \equiv a_{0} \, \mathrm{ mod } \, 10$$