Estaba escuchando un audiolibro de Einstein cuando comenzaron a discutir la geometría esférica y cómo Pi ya no era la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro, así que se dispuso a encontrar la respuesta. Por lo que he reunido, es una variable que depende de un ángulo de $\theta$ entre el polo y el círculo en cuestión, ya que existen infinitas paralelas círculos sobre una esfera.
De manera que la circunferencia he calculado a través de la Euclídea métodos serían $2\pi$ veces la longitud de un lado de un triángulo opuesto $\theta$. Si $r$ es el radio de la esfera, entonces podemos encontrar esta dimensión dos círculos de radio como $$x=r\sin\theta.$$ De manera que la circunferencia $C_{\theta}$, entonces es $2\pi\cdot{r}\sin\theta$
Ahora necesitamos el radio, que es la longitud de arco desde la pole, $\frac{\pi}{2}$$\sin\theta$. Mediante parametrización de $$\mathbf{x}(t)=(r\cos{t},r\sin{t}),$$ El arclength sería $$\rho_{\theta}=\int_{\sin{\theta}}^{\frac{\pi}{2}}||\mathbf{x}(t)||dt=\int_{\sin{\theta}}^{\frac{\pi}{2}}rdt=r\left(\frac{\pi}{2}-\sin\theta\right)$$ Multiplicando por 2 nos da el diámetro de la Así que creo que esta es la función en $\theta$ que nos da la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro; $$R(\theta)=\frac{2\pi\cdot{r}\sin\theta}{2r\left(\frac{\pi}{2}-\sin\theta\right)}=\frac{\pi\sin\theta}{\left(\frac{\pi}{2}-\sin\theta\right)}$$ Es este un enfoque correcto?
Edición; puedo ver a mi límite inferior de mi arclength integral fue apagado por completo, como era las 2 de la madrugada aquí cuando estaba pensando esto.... El límite superior sería $\frac{\pi}{2}$ y mi límite inferior podría ser $\frac{\pi}{2}-\theta$. Por lo tanto, si yo hubiera integrado correctamente, $$\int_{\frac{\pi}{2}-\theta}^{\frac{\pi}{2}}||\mathbf{x}(t)||dt=\int_{\frac{\pi}{2}-\theta}^{\frac{\pi}{2}}rdt=r\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right]=r\theta$$ Esto daría la respuesta correcta que se dan a continuación de $$R(\theta)=\frac{\pi\sin\theta}{\theta}$$
