Demuestre esta desigualdad para $|z| \leq 1$

Question

Se supone que debo demostrar que $$\frac{|e^z-1|}{e-1} \leq |z|$$ para $|z| \leq 1$ . Mi opinión es que tengo que demostrar que el LHS $\leq 1$ y luego aplicar el Lemma de Schwarz. Pero no soy capaz de demostrarlo.

Answer 1

Podemos escribir \begin{align} |e^z-1|&=\left|\sum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n!}\right|\\ &\leq \sum_{n\geq 1}\frac{|z|^n}{n!}\\ &\leq |z|\sum_{n\geq 1}\frac 1{n!}\\ &=|z|(e-1) \end{align}

Answer 2

Prueba con $\mathrm e^z-1=z\int\limits_0^1\mathrm e^{tz}\,\mathrm dt$ . Por lo tanto, $|\mathrm e^z-1|\leqslant|z|\int\limits_0^1|\mathrm e^{tz}|\,\mathrm dt$ . Desde $|\mathrm e^{tz}|=\mathrm e^{t\Re z}\leqslant\mathrm e^{t|z|}\leqslant\mathrm e^t$ la integral es como máximo $\int\limits_0^1\mathrm e^{t}\,\mathrm dt=\mathrm e-1$ Por lo tanto $|\mathrm e^z-1|\leqslant|z|\cdot(\mathrm e-1)$ , según se desee.

Este método demuestra de forma más general que, para cada $z$ , $|\mathrm e^z-1|\leqslant|z|\cdot(\mathrm e^{|z|}-1)$ .

Answer 3

Definir $f(z) = \frac{e^z - 1}{e - 1}$ . Se trata de una función holomorfa, y satisface $f(0) = 0$ . Así, por El lema de Schwarz , $|f(z)| \leq |z|$ para todos $|z| < 1$ .

Ahora sólo queda extender este resultado a $|z| \leq 1$ . Se trata de un simple resultado técnico: La función $g(z) = |f(z)| - |z|$ es una función continua, real y no positiva* definida en todo el plano complejo. Por continuidad, no puede alcanzar un valor positivo en un punto del círculo unitario; de lo contrario, tendría que ser positiva en alguna vecindad de ese punto, que incluye puntos dentro del disco.

*edición: quise decir no positivo cuando $|z|<1$ como hemos demostrado.