¿$\lambda^2 \leq \kappa^2 \Rightarrow \lambda \leq \kappa$ Implica el axioma de elección?

Question

Soy consciente de que la declaración "de todos los cardenales $\kappa$, $\kappa^2 = \kappa$" es equivalente a axioma de la opción (creo que esto fue probado por Tarski).

Más generalmente, ¿alguien sabe si la declaración "todos cardenales $\lambda, \kappa$ $\lambda^2 \leq \kappa^2$ implica $\lambda \leq \kappa$" es equivalente a AC?

Answer 1

Es el caso que si $\kappa^2=\lambda^2\implies\kappa=\lambda$ (donde $\kappa$ y $\lambda$ son cardenales arbitrarias, no sólo los números de $\aleph$), entonces tiene el axioma de elección. (Vea la prueba aquí: implica $A\times A\cong B\times B$ $A\cong B$?)

Nota que la declaración sugiere implica esto, ya que implica de $\kappa^2=\lambda^2$ $\leq$ y $\geq$.